2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Аналитическая геометрия
Сообщение21.11.2015, 22:31 
Здравствуйте, возникла проблема с такой задачей, прошу помочь, пожалуйста:
Цилиндр задан своим сечением ${(x - 1)^2} + 2{(y - 1)^2} = 1$ с плоскостью $z=0$ и направлением $(a:b:c)$ прямолинейных образующих. При каком значении параметров $a,b,c$ поверхность ${x^2} + 3{y^2} + {(z - 1)^2} = 1$ (которая есть эллипсоид) и цилиндр имеют бесконечно много диаметральных плоскостей? Найти уравнение цилиндра для этих направлений.

Я так понимаю, что нужно выписать уравнение диаметральной плоскости для цилиндра и для эллипсоида по формуле $a\frac{{\partial F}}{{\partial x}} + b\frac{{\partial F}}{{\partial y}} + c\frac{{\partial F}}{{\partial z}} = 0$. А затем выписать условие пропорциональности коэффициентов в этих уравнениях. Для эллипсоида выписать это не составляет проблем. А вот с цилиндром возникают сложности; я пытался вывести уравнение цилиндра (если такое вообще возможно) следующим образом: У нас есть направление образующих, можно записать уравнение в параметрическом виде: $x = {x_0} + at,y = {y_0} + bt,z = {z_0} + ct$ (${x_0},{y_0},{z_0}$ - точка на цилиндре). Так как у нас дана плоскость $z=0$, то подставляем это в третье параметрическое "уравнение", выражаем $t$, подставляем в первые два, а затем выраженные $x$ и $y$ подставляем в уравнение сечения. Но где-то тут скрыта неправда, потому что получается тогда, что диаметральная плоскость нулевая, а так не должно быть явно. Есть какой-то способ получить уравнение цилиндра с такими данными или в решении это вообще не потребуется использовать?

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 02:26 
http://scask.ru/book_agm.php?id=140

(Добавлено модератором Karan) Ссылка ведет на книгу Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука., 1968.

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 02:39 
sergey1 в сообщении #1075589 писал(а):
http://scask.ru/book_agm.php?id=140


Хорошо. Так я тоже пытался делать. Тогда у нас $2a(x-1)+4b(y-1) = 0$ для нашего цилиндра и для эллипсоида соответственно $2ax + 6ay + 2c(z-1) = 0$.
Тогда условие совпадения плоскостей $\frac{{2a}}{{2a}} = \frac{{4b}}{{6b}} = \frac{0}{{2c}} = \frac{{2a + 4b}}{{2c}}$ и это вообще ни к чему не приводит :/.

Хотя нужно, чтобы бесконечно много одинаковых плоскостей было, тут надо еще какое-то условие видимо? (имею в виду аналитически)

Да и условие совпадения плоскостей вообще какое-то бессмысленное на самом деле, поэтому, думаю, оно здесь вообще не нужно никаким образом.

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 02:53 
Посмотрите на эти теоремы геометрически и поймите что общего у интересующих Вас плоскостей

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:07 
sergey1 в сообщении #1075592 писал(а):
Посмотрите на эти теоремы геометрически и поймите что общего у интересующих Вас плоскостей


Центр цилиндра лежит в точке $(1,1,0)$. Значит, прямая центров $x = 1 + at, y = 1 + bt, z = ct$. А диаметральная плоскость должна содержать эту прямую и их будет бесконечно много с точностью до поворота вокруг этой кривой. У эллипсоида диаметральная плоскость должна проходить через центр $(0,0,1)$ и она должна быть сопряжена тому же направлению + их также должно быть бесконечно много. И она должна содержать прямую $x = at, y = bt, z = 1 + ct$. Тут я прав?

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:08 
да
Теперь поймите геометрически как должна располагаться эта прямая, чтобы при этих фиксированных $a, b, c$ нужных плоскостей было бесконечно много

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:21 
Параллельно первой?

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:24 
Вы установили, что общая диаметральная плоскость проходит через центр эллипсоида и ось цилиндра. А через точку и прямую можно провести единственную плоскость. Значит, задача не имеет решения!
В этом рассуждении все в порядке?

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:28 
sergey1 в сообщении #1075598 писал(а):
Вы установили, что общая диаметральная плоскость проходит через центр эллипсоида и ось цилиндра. А через точку и прямую можно провести единственную плоскость. Значит, задача не имеет решения!
В этом рассуждении все в порядке?


Все довольно логично, просто странно, что задача не имеет решения :/.

P.S. я пропустил в условии "общих диаметральных плоскостей".

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:32 
В том рассуждении есть ошибка, это утверждение верно не всегда. Задача имеет решение

Бывает так, что через точку и прямую проходит больше одной плоскости?

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:35 
sergey1 в сообщении #1075600 писал(а):
В том рассуждении есть ошибка, это утверждение верно не всегда. Задача имеет решение

Бывает так, что через точку и прямую проходит больше одной плоскости?



Если точка лежит на этой прямой.

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:37 
Верно, значит как проходит эта прямая и сколько ее точек нам известны?

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:40 
sergey1 в сообщении #1075602 писал(а):
Верно, значит как проходит эта прямая и сколько ее точек нам известны?


Известны две точки $(1,1,0)$ и $(0,0,1)$.

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:45 
И что осталось установить? Как быть с $a,b,c$?

 
 
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:48 
sergey1 в сообщении #1075607 писал(а):
И что осталось установить? Как быть с $a,b,c$?


Подставить в уравнение первой прямой точку (0,0,1) и выразить $a =  - \frac{1}{t},b =  - \frac{1}{t},c = \frac{1}{t}$

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group