2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Аналитическая геометрия
Сообщение21.11.2015, 22:31 


11/12/14
148
Здравствуйте, возникла проблема с такой задачей, прошу помочь, пожалуйста:
Цилиндр задан своим сечением ${(x - 1)^2} + 2{(y - 1)^2} = 1$ с плоскостью $z=0$ и направлением $(a:b:c)$ прямолинейных образующих. При каком значении параметров $a,b,c$ поверхность ${x^2} + 3{y^2} + {(z - 1)^2} = 1$ (которая есть эллипсоид) и цилиндр имеют бесконечно много диаметральных плоскостей? Найти уравнение цилиндра для этих направлений.

Я так понимаю, что нужно выписать уравнение диаметральной плоскости для цилиндра и для эллипсоида по формуле $a\frac{{\partial F}}{{\partial x}} + b\frac{{\partial F}}{{\partial y}} + c\frac{{\partial F}}{{\partial z}} = 0$. А затем выписать условие пропорциональности коэффициентов в этих уравнениях. Для эллипсоида выписать это не составляет проблем. А вот с цилиндром возникают сложности; я пытался вывести уравнение цилиндра (если такое вообще возможно) следующим образом: У нас есть направление образующих, можно записать уравнение в параметрическом виде: $x = {x_0} + at,y = {y_0} + bt,z = {z_0} + ct$ (${x_0},{y_0},{z_0}$ - точка на цилиндре). Так как у нас дана плоскость $z=0$, то подставляем это в третье параметрическое "уравнение", выражаем $t$, подставляем в первые два, а затем выраженные $x$ и $y$ подставляем в уравнение сечения. Но где-то тут скрыта неправда, потому что получается тогда, что диаметральная плоскость нулевая, а так не должно быть явно. Есть какой-то способ получить уравнение цилиндра с такими данными или в решении это вообще не потребуется использовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 02:26 


14/02/06
281
http://scask.ru/book_agm.php?id=140

(Добавлено модератором Karan) Ссылка ведет на книгу Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука., 1968.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 02:39 


11/12/14
148
sergey1 в сообщении #1075589 писал(а):
http://scask.ru/book_agm.php?id=140


Хорошо. Так я тоже пытался делать. Тогда у нас $2a(x-1)+4b(y-1) = 0$ для нашего цилиндра и для эллипсоида соответственно $2ax + 6ay + 2c(z-1) = 0$.
Тогда условие совпадения плоскостей $\frac{{2a}}{{2a}} = \frac{{4b}}{{6b}} = \frac{0}{{2c}} = \frac{{2a + 4b}}{{2c}}$ и это вообще ни к чему не приводит :/.

Хотя нужно, чтобы бесконечно много одинаковых плоскостей было, тут надо еще какое-то условие видимо? (имею в виду аналитически)

Да и условие совпадения плоскостей вообще какое-то бессмысленное на самом деле, поэтому, думаю, оно здесь вообще не нужно никаким образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 02:53 


14/02/06
281
Посмотрите на эти теоремы геометрически и поймите что общего у интересующих Вас плоскостей

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:07 


11/12/14
148
sergey1 в сообщении #1075592 писал(а):
Посмотрите на эти теоремы геометрически и поймите что общего у интересующих Вас плоскостей


Центр цилиндра лежит в точке $(1,1,0)$. Значит, прямая центров $x = 1 + at, y = 1 + bt, z = ct$. А диаметральная плоскость должна содержать эту прямую и их будет бесконечно много с точностью до поворота вокруг этой кривой. У эллипсоида диаметральная плоскость должна проходить через центр $(0,0,1)$ и она должна быть сопряжена тому же направлению + их также должно быть бесконечно много. И она должна содержать прямую $x = at, y = bt, z = 1 + ct$. Тут я прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:08 


14/02/06
281
да
Теперь поймите геометрически как должна располагаться эта прямая, чтобы при этих фиксированных $a, b, c$ нужных плоскостей было бесконечно много

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:21 


11/12/14
148
Параллельно первой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:24 


14/02/06
281
Вы установили, что общая диаметральная плоскость проходит через центр эллипсоида и ось цилиндра. А через точку и прямую можно провести единственную плоскость. Значит, задача не имеет решения!
В этом рассуждении все в порядке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:28 


11/12/14
148
sergey1 в сообщении #1075598 писал(а):
Вы установили, что общая диаметральная плоскость проходит через центр эллипсоида и ось цилиндра. А через точку и прямую можно провести единственную плоскость. Значит, задача не имеет решения!
В этом рассуждении все в порядке?


Все довольно логично, просто странно, что задача не имеет решения :/.

P.S. я пропустил в условии "общих диаметральных плоскостей".

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:32 


14/02/06
281
В том рассуждении есть ошибка, это утверждение верно не всегда. Задача имеет решение

Бывает так, что через точку и прямую проходит больше одной плоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:35 


11/12/14
148
sergey1 в сообщении #1075600 писал(а):
В том рассуждении есть ошибка, это утверждение верно не всегда. Задача имеет решение

Бывает так, что через точку и прямую проходит больше одной плоскости?



Если точка лежит на этой прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:37 


14/02/06
281
Верно, значит как проходит эта прямая и сколько ее точек нам известны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:40 


11/12/14
148
sergey1 в сообщении #1075602 писал(а):
Верно, значит как проходит эта прямая и сколько ее точек нам известны?


Известны две точки $(1,1,0)$ и $(0,0,1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:45 


14/02/06
281
И что осталось установить? Как быть с $a,b,c$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическая геометрия
Сообщение22.11.2015, 03:48 


11/12/14
148
sergey1 в сообщении #1075607 писал(а):
И что осталось установить? Как быть с $a,b,c$?


Подставить в уравнение первой прямой точку (0,0,1) и выразить $a =  - \frac{1}{t},b =  - \frac{1}{t},c = \frac{1}{t}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group