О теореме Пифагора

[grizzly]

A_Nikolaev в сообщении #1075415 писал(а):

Метод "измерить-табулировать-угадать" более жёсткий. Понимаете, о чём я говорю?

Нет, до сих пор не могу понять однозначно. Я постоянно держу в уме 2 основных варианта того, что Вы имеете в виду, и после каждого следующего сообщения фокус из одного варианта перемещается на другой.

Вариант 1. Учителю (среде) давно известна теорема Пифагора. Вам она неизвестна. Вы хотите найти сформулировать её самостоятельно (либо учителя хотят этого от Вас). Подварианты:
1.а) учитель (среда) грамотно помогают Вам в этом;
1.б) Вы боретесь сами.
Вариант 2. Гипотетически предполагается, что культура (среда) лишена знания о теореме Пифагора.

Но ко всем этим вариантам у меня универсальное возражение: гипотеза "между сторонами прямоугольного треугольника существует интересная взаимосвязь и её неплохо бы поискать" куда более важная, чем собственно искомая гипотеза.

Если Вам эту важную гипотезу подарили извне, тогда я сразу соглашусь с табличным методом. Если нет, я вообще не вижу оснований для его возникновения.

[A_Nikolaev]

grizzly
Я Вам лучше расскажу, как дело было. Ни с того, ни с сего мне в голову пришла идея переоткрыть теорему Пифагора. Я не помню как, когда и почему она пришла. Но пришла уже давно и засела. Без шуток.

Всё руки не доходили. И вот неделю назад я сел и нарисовал на бумаге две перпендикулярные линии, разметил их через 0,5 см и стал линейкой замерять гипотенузу. Я зафиксировал один катет сразу на 1 см, а второй проходил с шагом 0,5 см. Потом фиксировал катет на 2, 3 и 4 сантиметрах. Всего я сделал 4 таблицы.

Потом я нарисовал график для каждой из таблиц и понял, что если бы я не знал теоремы Пифагора, то по графику не догадался бы о закономерности, потому что такой график мне не знаком: почти прямая линия, которая загибается ближе к нулю.

Отсюда и вопрос: если бы я не знал теоремы, мне бы пришлось долго гадать? Или же я смог бы как-то подойти к правильной гипотезе без угадайки?

Мне эта задачка показалась настолько трудной, что я подумал: "А как же в древности её смогли открыть?"

[Munin]

grizzly в сообщении #1075424 писал(а):

1.б) Вы боретесь сами.

В каком из подвариантов?
- борьба за то, чтобы сформулировать теорему, или
- борьба за то, чтобы её не формулировать?

:-)

A_Nikolaev в сообщении #1075432 писал(а):

Ни с того, ни с сего мне в голову пришла идея переоткрыть теорему Пифагора.

Ну а что это значит - "переоткрыть"? Вы же про эту теорему уже знаете. Так что, любое "переоткрытие" будет нечестным.

-- 21.11.2015 12:51:28 --

A_Nikolaev в сообщении #1075432 писал(а):

Потом я нарисовал график для каждой из таблиц и понял, что если бы я не знал теоремы Пифагора, то по графику не догадался бы о закономерности, потому что такой график мне не знаком: почти прямая линия, которая загибается ближе к нулю.
...
Мне эта задачка показалась настолько трудной, что я подумал: "А как же в древности её смогли открыть?"

В любом случае, в древности графиков не строили :-) Это придумали Орем и Декарт.

[A_Nikolaev]

Munin в сообщении #1075433 писал(а):

Ну а что это значит - "переоткрыть"?

Это значит понять, как бы я сам её открывал, если бы не знал. В геометрический метод я не верил сразу, потому что видел доказательство Евклида.

[grizzly]

A_Nikolaev в сообщении #1075432 писал(а):

Отсюда и вопрос: если бы я не знал теоремы, мне бы пришлось долго гадать? Или же я смог бы как-то подойти к правильной гипотезе без угадайки?

Спасибо за разъяснения. У меня нет ответа про Вас. Путь, который я описывал выше -- это скорее про меня. Педагогического опыта у меня маловато, так что даже про среднее сказать ничего не могу.

A_Nikolaev в сообщении #1075432 писал(а):

Мне эта задачка показалась настолько сложной, что я подумал: "А как же в древности её смогли открыть?"

А эта тема для разговора мне представляется весьма сложной. Боюсь, здесь мы (я имею в виду лично нас, а не современную науку) находимся на уровне профессоров времён Гёте:

Гёте о восприятии учёных древности писал(а):

Вагнер
Однако есть ли что милей на свете
Чем уноситься в дух былых столетий
И умозаключать из их работ,
Как далеко шагнули мы вперед?
Фауст
О да, конечно, до самой луны!
Не трогайте далекой старины.
Нам не сломить ее семи печатей.
А то, что духом времени зовут,
Есть дух профессоров и их понятий,
Который эти господа некстати
За истинную древность выдают.
Как представляем мы порядок древний?
Как рухлядью заваленный чулан,
А некоторые еще плачевней, --
Как кукольника старый балаган.
По мненью некоторых, наши предки
Не люди были, а марионетки.

[Munin]

A_Nikolaev в сообщении #1075439 писал(а):

Это значит понять, как бы я сам её открывал, если бы не знал.

Ну а с чего вы взяли, что если бы вы её не знали - вы бы её открыли? Это же не такое простое дело. Не зря научные открытия носят имена великих учёных - тех, кто справились с совершением этого открытия, хотя другие не справились.

[Skeptic]

Вопрос стоит шире. Как увидеть закономерность там, где её никто не видит?
Например, Ньютона озарило законом о тяготении упавшее на голову яблоко? Но яблоко падало на голову многим людям, не только одному Ньютону.
Гения отличает другое видение мира, и этого мы, простые люди, не сможем смоделировать и разложить по полочкам. Никакой школьник не сможет переоткрыть теорему Пифагора пока он не сравняется с ним по знаниям его эпохи и ещё в чём-то ( в чём?).

[Munin]

Skeptic в сообщении #1075469 писал(а):

Вопрос стоит шире. Как увидеть закономерность там, где её никто не видит?
Например, Ньютона озарило законом о тяготении упавшее на голову яблоко? Но яблоко падало на голову многим людям, не только одному Ньютону.

Проблема в том, что Ньютона не озарило законом о тяготении яблоко. Это байка для туристов. На самом деле, Ньютон работал над законом о тяготении очень долго и очень трудно (чисто математически и вычислительно трудно), и яблоко весь этот труд не могло проделать. Кроме того, у него были и предшественники, формулировавшие близкие идеи и предварительные варианты того же закона: Буридан, Кеплер, Гук. По сути, по сравнению с формулировкой Гука, Ньютону уже не надо было догадываться о законе тяготения, а надо было только доказать некоторые его свойства, что он и проделал:
- из закона тяготения и законов механики (собранных в подходящем виде Ньютоном же) следуют законы Кеплера;
- из них же следует закон падения Галилея, и тяготение Земли одинаково по природе что для Луны, что для яблок на её поверхности;
- ряд дополнительных теорем, например, для тяготения сферической оболочки внутри и снаружи, и для тяготения шара - отсюда можно было заявить о всемирности закона тяготения (тяготение Земли вызвано суммой тяготения всех камней, из которых сложена Земля, а не вызвано каким-то неизвестным особым источником в центре Земли).
Это всё непростая работа. Хотя она и по силам, скажем, современному школьнику, но только с хорошими подсказками, что и где искать и доказывать. И какое яблоко могло подсказать это?

[dsge]

Munin в сообщении #1075471 писал(а):

Это всё непростая работа. Хотя она и по силам, скажем, современному школьнику, но только с хорошими подсказками, что и где искать и доказывать.

По ходу дела школьнику придется изобрести матанализ (в духе ТС).

[Munin]

Ну, не весь.

[TR63]

A_Nikolaev в сообщении #1075377 писал(а):

TR63 в сообщении #1075299
писал(а):
Я в этой теме подробно не описала, как составлять таблицу. Но я об этом писала в другой моей теме.

A_Nikolaev в сообщении #1075377 писал(а):

А что это за тема?

В разных темах. "Гипотетическая теория устойчивости" (Дискуссионный раздел), "Открытые проблемы форумчан" (Дискуссионный раздел). По немногу об этом я писала и в других темах и на форуме ПЕН. Сначала все говорили, мол, бред, лечиться надо. Но потом на ПЕН темы закрывать перестали, но я уже перешла на этот форум (здесь удобнее формулы набирать и интересно). Поскольку мои гипотезы никого не интересовали, я их забросила, оставив для личного пользования. А, тут Вы, как снег на голову. Я уже и подзабыла детали, но многое помню. Мои (краткие; не все) замечания по поводу Ваших таблиц следующие:
1). У Вас есть последовательность треугольников с катетом $(1;2;3;4...)$. Для всех этих треугольников известно какое-либо общее свойство. Её надо разделить на два смежных класса относительно наличия исследуемого свойства (в данном случае существование для заданного натурального катета второго натуральных катета и гипотенузы. У Вас не получается нормального (непрерывного) деления на смежные классы. Если Вы возьмёте только чётные катеты, то деление получается. Будете иметь два смежных класса $A(2)$ и $B(4;6;8...)$. Таким образом можно сформировать гипотезу, что для всех чётных катетов, кроме одного, существуют натуральные другой катет и гипотенуза.
2). Если проанализировать ряд различных задач, то можно будет сформулировать более общую гипотезу. Все гипотезы, которые могут быть теоремами, имеют одинаковые схемы, т.е. гипотетически возможен процесс экстраполяции опытных данных. И этих опытных данных можно иметь в минимальном количестве. При этом, конечно, надо соблюдать условие сохранения количества задействованных операций на всех этапах.
3). Затем можно будет переходить к рассмотрению "свойства Пифагора".

[arseniiv]

(Возможно, неуместное обсуждение выбора длинных фраз для обозначения понятий, называемых обычно короче.)

TR63 в сообщении #1075535 писал(а):

смежных класса

Почему смежных?

Просто если надо лишний раз уточнить непересечение, можно так и сказать: не пересекающихся (или там дизъюнктных), и потом не повторять это. А ещё можно уточнить, что эти два класса образуют покрытие множества $\mathbb N$. Или уж сразу упомянуть о разбиении на <класс такой-то> и <класс такой-то>, или, что в данном случае натурально возникает, о подмножестве и его дополнении.

[A_Nikolaev]

TR63 в сообщении #1075535 писал(а):

Если Вы возьмёте только чётные катеты, то деление получается. Будете иметь два смежных класса $A(2)$ и $B(4;6;8...)$.

Интересно. Из опытной таблички этого сразу не увидеть, особенно если она маленькая. Класс $B$ будет иметь пропуски. Например, в моей табличке (хоть она и не опытная) катеты 10 и 14 отсутствуют, как и катет 2, потому что другие катеты троек выходят за границы измеряемой области. Отсутствует и тройка $(7, 24, 25)$, из которой получается $(14, 48, 50)$.

Но догадаться о свойстве $f(\alpha \cdot a, \alpha \cdot b) = $ $\alpha \cdot f(a, b) = $ $\alpha \cdot c$, вероятно, можно.

Другая проблема -- ложные тройки в реальных табличках, из-за неточности измерения. Особенно их много с катетом 1.

-- 22.11.2015, 14:28 --

dsge в сообщении #1075473 писал(а):

По ходу дела школьнику придется изобрести матанализ (в духе ТС).

Может это далекое будущее педагогики?

[A_Nikolaev]

(Оффтоп)

Skeptic в сообщении #1075469 писал(а):

Гения отличает другое видение мира, и этого мы, простые люди...

"Гений" -- просто слово-ярлык, которое не раскрывает механизма "гениальности". То, что из 10 ученых, работающих над одной и той же проблемой, 9 пошли тупиковыми путями, а один путем, который привёл к открытию, -- это может быть простой случайностью. У него нейроны в голове так соединились. А потом на него лепят ярлык "гений".

Но не будь этого учёного, рано или поздно открытие сделал бы другой.

Слово "гений" какое-то неприятное, подхалимское. И ничего не объясняет. Мне оно не нравится.

[Munin]

A_Nikolaev в сообщении #1075616 писал(а):

"Гений" -- просто слово-ярлык, которое не раскрывает механизма "гениальности".

Дык механизм давно известен: "Гений - это 1 % таланта и 99 % труда".
Отличие гения от других в том, что другие не вкладывают этих 99 %.