Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию

[Salvador]

Существует счетное семейство $G\subset L_\lambda^2[0,1]$ такое, что любую функцию $f\in L_\lambda^2[0,1]$ можно мажорировать некоторой функцией $g\in G$: $|f|\leq g$.

Верно ли это утверждение?

Здесь $\lambda$ - мера Лебега.

[Someone]

Вряд ли.

[g______d]

Это довольно стандартная задача на абсолютную непрерывность интеграла Лебега. Попытки решения?

[Salvador]

g______d в сообщении #1075269 писал(а):

Это довольно стандартная задача на абсолютную непрерывность интеграла Лебега. Попытки решения?

Так утверждение истинно?

Очевидный подход: брать счетное семейство, порождающее $\sigma$-алгебру, и рациональную линейную оболочку. Как помогает/препятствует абсолютная непрерывность интеграла?

[g______d]

Salvador в сообщении #1075369 писал(а):

Очевидный подход: брать счетное семейство, порождающее $\sigma$-алгебру, и рациональную линейную оболочку. Как помогает/препятствует абсолютная непрерывность интеграла?

Во-первых, вы берёте не элементы $\sigma$-алгебры, а функции. По-видимому, имеются в виду конечные линейные комбинации индикаторных функций счётной базы $\sigma$-алгебры. Ну так любая такая комбинация будет ограниченной, поэтому не мажорирует никакую неограниченную функцию.

Попробуйте опровергнуть: имея счётное семейство функций, постройте семейство непересекающихся отрезков и на отрезке с номером $i$ сделайте функцию строго больше, чем функция с номером $i$ на том же отрезке. Для интегрируемости полученной конструкции придётся немного повозиться, но ничего особо сложного нет.

[Salvador]

g______d в сообщении #1075371 писал(а):

Попробуйте опровергнуть: имея счётное семейство функций, постройте семейство непересекающихся отрезков и на отрезке с номером $i$ сделайте функцию строго больше, чем функция с номером $i$ на том же отрезке. Для интегрируемости полученной конструкции придётся немного повозиться, но ничего особо сложного нет.

Спасибо большое, понял!