2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение20.11.2015, 21:25 


14/04/08
25
Существует счетное семейство $G\subset L_\lambda^2[0,1]$ такое, что любую функцию $f\in L_\lambda^2[0,1]$ можно мажорировать некоторой функцией $g\in G$: $|f|\leq g$.

Верно ли это утверждение?

Здесь $\lambda$ - мера Лебега.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение20.11.2015, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Вряд ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение20.11.2015, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Это довольно стандартная задача на абсолютную непрерывность интеграла Лебега. Попытки решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение21.11.2015, 02:31 


14/04/08
25
g______d в сообщении #1075269 писал(а):
Это довольно стандартная задача на абсолютную непрерывность интеграла Лебега. Попытки решения?

Так утверждение истинно?

Очевидный подход: брать счетное семейство, порождающее $\sigma$-алгебру, и рациональную линейную оболочку. Как помогает/препятствует абсолютная непрерывность интеграла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение21.11.2015, 04:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Salvador в сообщении #1075369 писал(а):
Очевидный подход: брать счетное семейство, порождающее $\sigma$-алгебру, и рациональную линейную оболочку. Как помогает/препятствует абсолютная непрерывность интеграла?


Во-первых, вы берёте не элементы $\sigma$-алгебры, а функции. По-видимому, имеются в виду конечные линейные комбинации индикаторных функций счётной базы $\sigma$-алгебры. Ну так любая такая комбинация будет ограниченной, поэтому не мажорирует никакую неограниченную функцию.

Попробуйте опровергнуть: имея счётное семейство функций, постройте семейство непересекающихся отрезков и на отрезке с номером $i$ сделайте функцию строго больше, чем функция с номером $i$ на том же отрезке. Для интегрируемости полученной конструкции придётся немного повозиться, но ничего особо сложного нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение21.11.2015, 14:58 


14/04/08
25
g______d в сообщении #1075371 писал(а):
Попробуйте опровергнуть: имея счётное семейство функций, постройте семейство непересекающихся отрезков и на отрезке с номером $i$ сделайте функцию строго больше, чем функция с номером $i$ на том же отрезке. Для интегрируемости полученной конструкции придётся немного повозиться, но ничего особо сложного нет.

Спасибо большое, понял!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group