2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение20.11.2015, 21:25 
Существует счетное семейство $G\subset L_\lambda^2[0,1]$ такое, что любую функцию $f\in L_\lambda^2[0,1]$ можно мажорировать некоторой функцией $g\in G$: $|f|\leq g$.

Верно ли это утверждение?

Здесь $\lambda$ - мера Лебега.

 
 
 
 Re: Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение20.11.2015, 22:40 
Аватара пользователя
Вряд ли.

 
 
 
 Re: Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение20.11.2015, 22:55 
Аватара пользователя
Это довольно стандартная задача на абсолютную непрерывность интеграла Лебега. Попытки решения?

 
 
 
 Re: Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение21.11.2015, 02:31 
g______d в сообщении #1075269 писал(а):
Это довольно стандартная задача на абсолютную непрерывность интеграла Лебега. Попытки решения?

Так утверждение истинно?

Очевидный подход: брать счетное семейство, порождающее $\sigma$-алгебру, и рациональную линейную оболочку. Как помогает/препятствует абсолютная непрерывность интеграла?

 
 
 
 Re: Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение21.11.2015, 04:42 
Аватара пользователя
Salvador в сообщении #1075369 писал(а):
Очевидный подход: брать счетное семейство, порождающее $\sigma$-алгебру, и рациональную линейную оболочку. Как помогает/препятствует абсолютная непрерывность интеграла?


Во-первых, вы берёте не элементы $\sigma$-алгебры, а функции. По-видимому, имеются в виду конечные линейные комбинации индикаторных функций счётной базы $\sigma$-алгебры. Ну так любая такая комбинация будет ограниченной, поэтому не мажорирует никакую неограниченную функцию.

Попробуйте опровергнуть: имея счётное семейство функций, постройте семейство непересекающихся отрезков и на отрезке с номером $i$ сделайте функцию строго больше, чем функция с номером $i$ на том же отрезке. Для интегрируемости полученной конструкции придётся немного повозиться, но ничего особо сложного нет.

 
 
 
 Re: Счетное семейство, мажорирующее любую интегрируемую функцию
Сообщение21.11.2015, 14:58 
g______d в сообщении #1075371 писал(а):
Попробуйте опровергнуть: имея счётное семейство функций, постройте семейство непересекающихся отрезков и на отрезке с номером $i$ сделайте функцию строго больше, чем функция с номером $i$ на том же отрезке. Для интегрируемости полученной конструкции придётся немного повозиться, но ничего особо сложного нет.

Спасибо большое, понял!

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group