Функциональные ряды.

[Ponch]

Добрый день.
Задача состоит в том, чтобы исследовать функциональный ряд на сходимость (поточечную и равномерную). Вот этот ряд:

$$\sum \frac {e^{xn}}{n^{e^x}}$$

Если обозначить $f_n (x) = \frac {e^{xn}}{n^{e^x}}$, то несложно заметить, что $\frac {f_{n+1}}{f_n} \to {e^x}$ при $n \to \infty$. Тогда по признаку Даламбера ряд будет сходится при $ x \in (-\infty,0)$ и расходится при $ x \in (0,+\infty)$. В 0 тоже получим расходимость.


На множестве $ x \in (-\infty,0)$ сходимость нашего ряда

$$\sum \frac {e^{xn}}{n^{e^x}}$$

равносильна сходимости ряда

$$\sum \frac {t^n}{n^t}}$$

при $ t \in (0,1)$. Если взять $\forall r \in (0,1)$, то на $ t \in (0,r]$ получившийся ряд будет равномерно сходится по признаку Абеля: числитель $ t^n $ можно ограничить 0 и сходящимся к 0 мажорантным рядом

$$\sum r^n$$

, а оставшаяся часть элемента ряда $ \frac 1 {n^t}$ образует монотонную стремящуюся к 0 последовательность при фиксированных t. В итоге получили равномерную сходимость на всех отрезках (0, r] $\forall r \in (0,1)$.
Осталось всего-ничего - исследовать на равномерную сходимость на всем интервале (0,1). Есть очень большое подозрение, что в этом случае надо отрицать критерий равномерной сходимости Коши. Но вот что конкретно сказать понятия не имею. Хелп!

[Brukvalub]

Легко проверить отрицание критерия Коши, воспользовавшись тем, что в 1 члены ряда непрерывны и превращаются в члены расходящегося гармонического ряда.

[Ponch]

так-так...можно ли с этого места поподробней? Каким именно образом они превращаются в члены гармонического ряда, как это конкретно связать с отрицанием критерия Коши?

[Brukvalub]

Напишите отрицание к.К. сходимостисти гарм. ряда и используйте непрерывность в 1 членов рассматриваемого функц. ряда. Все получится.