Планиметрия, задача на площади

[iou]

Дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $N$ и $M$ соответственно. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. $S_{ANP}=7$, $S_{CMP}=8$, $S_{CPA}=9$
Найти $S_{ABC}$
В какую сторону думать?
Обозначив $\angle{APN}=\alpha$ и расписав площади, получил следующие соотношения: $\frac{PM}{CP}=\frac{9}{8}$, $\frac{CP}{NP}=\frac{8}{7}$, $\frac{PM}{NP}\frac{9}{7}$. Но это никаком образом не помогает в решении..

[provincialka]

Может, в первом отношении в знаменателе стоит $AP$?

Обозначим площадь оставшегося четырехугольника через $x$. Можно выразить через нее отношение $AN : AB$, а, зная еще и $AP:AM$ выразить площадь треугольника $ANP$ через $ABM$
(могу ошибиться в буквах, решаю в уме, а картинку вы не привели)

[Yu_K]

Я бы ряд суммировал, вроде меньше проблем получается - складываем площади подобных невыпуклых пятиугольников и лишнее отнимаем. Небольшая проверка простенькая - geogebra.

[OlegCh]

Ну, решили?
У меня получилось $S_{ABC}=\frac{2448}{25}=97\frac{23}{25}$

[provincialka]

(так же)

У меня получилось также, с помощью теоремы Менелая

[OlegCh]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1074939 писал(а):

с помощью теоремы Менелая

А у меня без нее

[provincialka]

OlegCh
Зато по Менелаю получается в одну строчку... Для проверки ответа -- в самый раз!

[OlegCh]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1075001 писал(а):

Зато по Менелаю получается в одну строчку...

Я даже про нее и не знал. Попробую теперь с ее помощью, спасибо.

[iou]

provincialka в сообщении #1074939 писал(а):

(так же)

У меня получилось также, с помощью теоремы Менелая

Не понимаю, как связать теорему Менелая и задачу.
В какую сторону думать?

[provincialka]

iou
А вы саму теорему знаете?
Там, правда, про отношение отрезков. Но в треугольниках с общей высотой площади пропорциональны основаниям.
Например, можно применить теорему к треугольнику $NBC$, пересеченному прямой $AM$

[TOTAL]

(Оффтоп)

iou в сообщении #1075041 писал(а):

Не понимаю, как связать теорему Менелая и задачу.
В какую сторону думать?

Вот в какую. Пусть $\text{Менелай}$ - это площадь недостающего четырехугольника, для которой получаем уравнение:

$$\text{Менелай} = \dfrac{8}{9+8}(7 + \text{Менелай})+ \dfrac{7}{9+7}(8 + \text{Менелай})$$

[provincialka]

(to TOTAL)

Ну вот! Практически полное решение!

[OlegCh]

Да, через Менелая действительно моментально получается уравнение и даже проще не выделять площадь четырехугольника, а сразу использовать в качестве неизвестной искомую площадь всего треугольника.

(Оффтоп)

Как же все-таки много всяких теорем и свойств у одного только треугольника, и как их все помнить и применять в нужный момент...
P.s. тут, кстати, летом была задачка про треугольник (основания высот, перпендикуляр к медиане...), которую здесь решили только координатным методом. Я таки нашел решение (не сам решил, а именно нашел ) геометрическим способом, но там тоже столько свойств используется, уффф...

[provincialka]

OlegCh в сообщении #1075128 писал(а):

Как же все-таки много всяких теорем и свойств у одного только треугольника, и как их все помнить и применять в нужный момент.

Ну... для меня теоремы Чевы и Менелая -- не просто какие-то теоремы. В некотором смысле это квинтэссенция аффинной геометрии.

[iou]

provincialka в сообщении #1075053 писал(а):

iou
А вы саму теорему знаете?
Там, правда, про отношение отрезков. Но в треугольниках с общей высотой площади пропорциональны основаниям.
Например, можно применить теорему к треугольнику $NBC$, пересеченному прямой $AM$

Я правильно использовал теорему $\frac{BM}{MC}\cdot\frac{AN}{AB}\cdot\frac{CP}{PN}=1$?