2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Планиметрия, задача на площади
Сообщение11.11.2015, 23:15 
Аватара пользователя


04/10/15
280
Дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $N$ и $M$ соответственно. Отрезки $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. $S_{ANP}=7$, $S_{CMP}=8$, $S_{CPA}=9$
Найти $S_{ABC}$
В какую сторону думать?
Обозначив $\angle{APN}=\alpha$ и расписав площади, получил следующие соотношения: $\frac{PM}{CP}=\frac{9}{8}$, $\frac{CP}{NP}=\frac{8}{7}$, $\frac{PM}{NP}\frac{9}{7}$. Но это никаком образом не помогает в решении..

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение12.11.2015, 02:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Может, в первом отношении в знаменателе стоит $AP$?

Обозначим площадь оставшегося четырехугольника через $x$. Можно выразить через нее отношение $AN : AB$, а, зная еще и $AP:AM$ выразить площадь треугольника $ANP$ через $ABM$
(могу ошибиться в буквах, решаю в уме, а картинку вы не привели)

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение14.11.2015, 12:50 


02/11/08
1183
Я бы ряд суммировал, вроде меньше проблем получается - складываем площади подобных невыпуклых пятиугольников и лишнее отнимаем. Небольшая проверка простенькая - geogebra.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение19.11.2015, 18:27 
Аватара пользователя


28/01/14
349
Москва
Ну, решили?
У меня получилось $S_{ABC}=\frac{2448}{25}=97\frac{23}{25}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение19.11.2015, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань

(так же)

У меня получилось также, с помощью теоремы Менелая

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение19.11.2015, 19:57 
Аватара пользователя


28/01/14
349
Москва

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1074939 писал(а):
с помощью теоремы Менелая

А у меня без нее :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение19.11.2015, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
OlegCh
Зато по Менелаю получается в одну строчку... Для проверки ответа -- в самый раз!

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение20.11.2015, 00:20 
Аватара пользователя


28/01/14
349
Москва

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1075001 писал(а):
Зато по Менелаю получается в одну строчку...
Я даже про нее и не знал. Попробую теперь с ее помощью, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение20.11.2015, 01:43 
Аватара пользователя


04/10/15
280
provincialka в сообщении #1074939 писал(а):

(так же)

У меня получилось также, с помощью теоремы Менелая

Не понимаю, как связать теорему Менелая и задачу.
В какую сторону думать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение20.11.2015, 04:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
iou
А вы саму теорему знаете?
Там, правда, про отношение отрезков. Но в треугольниках с общей высотой площади пропорциональны основаниям.
Например, можно применить теорему к треугольнику $NBC$, пересеченному прямой $AM$

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение20.11.2015, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5002
Нов-ск

(Оффтоп)

iou в сообщении #1075041 писал(а):
Не понимаю, как связать теорему Менелая и задачу.
В какую сторону думать?
Вот в какую. Пусть $\text{Менелай}$ - это площадь недостающего четырехугольника, для которой получаем уравнение:
$$\text{Менелай} = \dfrac{8}{9+8}(7 + \text{Менелай})+ \dfrac{7}{9+7}(8 + \text{Менелай})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение20.11.2015, 11:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань

(to TOTAL)

Ну вот! Практически полное решение! :o

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение20.11.2015, 13:16 
Аватара пользователя


28/01/14
349
Москва
Да, через Менелая действительно моментально получается уравнение и даже проще не выделять площадь четырехугольника, а сразу использовать в качестве неизвестной искомую площадь всего треугольника.

(Оффтоп)

Как же все-таки много всяких теорем и свойств у одного только треугольника, и как их все помнить и применять в нужный момент... :roll:
P.s. тут, кстати, летом была задачка про треугольник (основания высот, перпендикуляр к медиане...), которую здесь решили только координатным методом. Я таки нашел решение (не сам решил, а именно нашел :oops: ) геометрическим способом, но там тоже столько свойств используется, уффф...

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение22.11.2015, 14:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
OlegCh в сообщении #1075128 писал(а):
Как же все-таки много всяких теорем и свойств у одного только треугольника, и как их все помнить и применять в нужный момент.
Ну... для меня теоремы Чевы и Менелая -- не просто какие-то теоремы. В некотором смысле это квинтэссенция аффинной геометрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Планиметрия, задача на площади
Сообщение22.11.2015, 14:01 
Аватара пользователя


04/10/15
280
provincialka в сообщении #1075053 писал(а):
iou
А вы саму теорему знаете?
Там, правда, про отношение отрезков. Но в треугольниках с общей высотой площади пропорциональны основаниям.
Например, можно применить теорему к треугольнику $NBC$, пересеченному прямой $AM$

Я правильно использовал теорему $\frac{BM}{MC}\cdot\frac{AN}{AB}\cdot\frac{CP}{PN}=1$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group