Канонические уравнения Гамильтона

[Freude]

Листал намедни книжку Голдстейна "Классическая механика" и возник вопрос (вопрос думаю покажется детским, но каюсь - не знаю), существуют ли квантовомеханические аналоги канонических уравнений Гамильтона.

[Freude]

Если вопрос действительно глуп, то объясните почему. Ведь глупцу нужно знать в чем его глупость

[LynxGAV]

Freude, помню, Ваш брат знает о книжечке фон Неймана, но своё знание скрывает. Вот её и откройте (в самом начале).

[Freude]

Да, я посмотрел Неймана. Судя по всему в квантовой механике канонических уравнений Гамильтона нет - они наверное появлятся только в классическом пределе. Ведь в канонических уравнениях производится дифференцирование функции Гамильтониана по координатам и импульсам, а те, в свою очередь, являются операторами. Можно ли дифференцировать оператор по другому оператору?

[LynxGAV]

Матричные элементы операторов декартовых координат $\hat x_i$ и декартовых компонент обобщенного импульса $\hat p_k$, вычисленные между волновыми функциями системы $f$ и $g$, удовлетворяют уравнениям Гамильтона классической механики: $\frac{d}{dt}<f|\hat p_i|g>=-<f|\frac {\partial \hat H}{\partial \hat x_i}|g>$, $\frac{d}{dt}<f|\hat x_i|g>=-<f|\frac {\partial \hat H}{\partial \hat p_i}|g>$, $\hat H$ -- оператор, соответствующий классической функции Гамильтона. В данном случае дифференцирование по оператору понимается как предельный переход $\frac {\partial F(\hat A)}{\partial \hat A}=\lim\limits_{\delta \to 0}\frac{F(\hat A + \delta \hat I) - F(\hat A))}{\delta}$. Нам повезло, для эрмитовых операторов, то есть тех, которые соответствуют физическим величинам, операции дифференцирования (и интегрирования) имеют смысл. А квантовая механика -- матричная (или операторная) механика. Возрадуемся!

Замечание. Дифференцировать функцию оператора по оператору.

[Freude]

Вот спасибо за то, что внесли ясность. Теперь Freude-глупец все понял. Из какого источника можно подчерпнуть сведения о дифференцировании по оператору - я ленивый не хочется искать.

[LynxGAV]

Например, Елютин П.В., Кривченков В.Д. — Квантовая механика с задачами.

[Freude]

Да, нашел на 27 стр. Thank you very much.

[Котофеич]

Freude писал(а):

Если вопрос действительно глуп, то объясните почему. Ведь глупцу нужно знать в чем его глупость

Должен заметить, что это крайне сомнительное предположение. В реальном мире
такое не обнаружено...

[Котофеич]

LynxGAV писал(а):

Матричные элементы операторов декартовых координат $\hat x_i$ и декартовых компонент обобщенного импульса $\hat p_k$, вычисленные между волновыми функциями системы $f$ и $g$, удовлетворяют уравнениям Гамильтона классической механики: $\frac{d}{dt}<f|\hat p_i|g>=-<f|\frac {\partial \hat H}{\partial \hat x_i}|g>$, $\frac{d}{dt}<f|\hat x_i|g>=-<f|\frac {\partial \hat H}{\partial \hat p_i}|g>$, $\hat H$ -- оператор, соответствующий классической функции Гамильтона. В данном случае дифференцирование по оператору понимается как предельный переход $\frac {\partial F(\hat A)}{\partial \hat A}=\lim\limits_{\delta \to 0}\frac{F(\hat A + \delta \hat I) - F(\hat A))}{\delta}$. Нам повезло, для эрмитовых операторов, то есть тех, которые соответствуют физическим величинам, операции дифференцирования (и интегрирования) имеют смысл. А квантовая механика -- матричная (или операторная) механика. Возрадуемся!

Замечание. Дифференцировать функцию оператора по оператору.

Но что особенно интересно, для сложных систем решения квантовых уравнений
не переходят в классические при h-->0.

[Dolopihtis]

Котофеич писал(а):

Но что особенно интересно, для сложных систем решения квантовых уравнений
не переходят в классические при h-->0.

Котофеич , какое Ваше личное мнение о судьбе кота Шредингера ?

[Котофеич]

Dolopihtis писал(а):

Котофеич , какое Ваше личное мнение о судьбе кота Шредингера ?

Ну допустим не кота а кошки. Но что конкретно Вас интересует

[Dolopihtis]

Котофеич писал(а):

Dolopihtis писал(а):

Котофеич , какое Ваше личное мнение о судьбе кота Шредингера ?

Ну допустим не кота а кошки. Но что конкретно Вас интересует

Ну вообще я имел в виду , верите - ли Вы в редукцию волновой функции , а насчет кота - это просто шутка.

[Котофеич]

Ну если Вы имеете ввиду типа этого http://qopt.phys.msu.su/dnk/1989_6.pdf
то проблемами оснований КМ и вопросами теории квантовых измерений я не занимаюсь.
На самом деле нет особой проблемы. КМ это некоторое приближение к некоторой более
сложной теории. В реальных квантовых системах часто встречается хаос, в таких системах ничего не предсказуемо даже в вероятностном смысле.

[Аурелиано Буэндиа]

Freude писал(а):

Листал намедни книжку Голдстейна "Классическая механика" и возник вопрос (вопрос думаю покажется детским, но каюсь - не знаю), существуют ли квантовомеханические аналоги канонических уравнений Гамильтона.

Конечно! Они выглядят также только от скобки Пуассона нужно перейти к коммутатору. А сами операторы записываются в представлении Гейзенберга