2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Одномерное уравнение теплопроводности. Численное решение.
Сообщение04.11.2015, 16:51 


04/11/15
8
Всем доброго времени суток.
Есть задание: "Решить одномерное нестационарное уравнение (см. формулу ниже) теплопроводности методом сеток."

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{d}{dx}\left( g\frac{\partial u}{\partial x}\right) + f$

При граничных условиях:

$q^0 \frac{\partial u}{\partial x} + \left.\alpha^0u\right|_{x=0}=\beta^0$

$q^1 \frac{\partial u}{\partial x} + \left.\alpha^1u\right|_{x=1}=\beta^1$

$u(x,0)=u^0(x)$

Область интегрирования $\Omega=\left\lbrace0\leqslant x\leqslant b, 0\leqslant t\leqslant T\right\rbrace$ покрываем равномерной сеткой $\omega_{h,r}=\left\lbrace(i-1)h, k\tau, i=1...N, k=0...K\right\rbrace$, $\tau - \text {шаг по времени}; h - \text {шаг по }x; k - \text {номер временного слоя}; i - \text {номер точки}$. Для нахождения таблицы решения $\overline{u}_h = \left\lbrace \overline{u}^k_i \cdot u(x_it^k) \right\rbrace$ воспользуемся следующей конечно разностной схемой:

$\frac{\overline{u}^{k+1}_i - \overline{u}^k_i}{\tau}=\frac{\omega_r}{h^2} \Bigl[g_{i-1/2}\overline{u}^{k+1}_{i-1} - (g_{i-1/2} + g_{i+1/2}) \overline{u}^{k+1}_i + g_{i+1/2}\overline{u}^{k+1}_{i+1}$ \Bigl] + \\
+ \frac{1 - \omega_r}{h^2} \Bigl[g_{i-1/2}\overline{u}^k_{i-1} - (g_{i-1/2} + g_{i+1/2}) \overline{u}^k_i + g_{i+1/2}\overline{u}^k_{i+1} \Bigl] + \overline{f}_i; \omega_r = 0.5$

Граничные условия аппроксимировать следующим образом:

$q^0\frac{u_2 - u_1}{h} + \alpha^0 u_1 = \beta^0$,

$q^1\frac{u_{n+1} - u_n}{h} + \alpha^1 u_{n+1} = \beta^1$

Явная схема ($\omega_r=0$):

$u_1 = (\beta^0 - q^0/h \cdot u_2)/(\alpha^0 - q^0/h) $
$u_{n+1} = (\beta^1 + q^1/h \cdot u_n)/(\alpha^1 + q^1/h) $

Неявная схема ($\omega_r=0$):

$b_1u_1 + c_1u_2 = d_1; \Rightarrow d_1 = \beta^0; b_1=\alpha^0 - q^0/h; c_1=q^0/h;$

$a_{n+1}u_n + b_{n+1}u_{n+1} = d_{n+1}; \Rightarrow d_{n+1} = \beta^1; b_{n+1}=\alpha^1- q^1/h; \alpha_{n+1}=-q^1/h.$

Расчет выполнять до достижения сходимости, т.е. пока

$\max\limits_{i}\left\lvert \overline{u}^k_i - \overline{u}^{k+1}_i \right\rvert \leqslant\varepsilon$

Выдать графики изменения $u(x,t^k), t^k=0,m\tau,2m\tau,3m\tau,\ldots u(x,tk), tk=0, m$

Тест: при $f=1$ и $g=1$ точное решение в установившемся режиме

$u=- \frac{x^2}{2} + c_1x + c_2$

Подберите $c_1$ и $c_2$ такими, чтобы выполнялись ваши граничные условия и протестируйте программу для этого случая. Подберите значения $N, k, m$ такими, чтобы в установившемся режиме у вас получилось точное решение. После этого подставляйте нужные значения $f$ и $g$.

Затем идет пример решения для следущих условий:
$\omega_r={0,1}$
$g=1+x^2$
$f=1-x^2$
$q^0=0$
$\alpha^0=1$
$\beta^0=0$
$q^1=0$
$\alpha^1=1$
$\beta^1=0$
Пример программы ($\omega_r=0.5$ или $\omega_r=1$)
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Matlab M
function V1_16_1(N,K,m,wr)
%решение диф ур по неявной схеме
%нестационарное уравнение типа теплопроводности
h=1/N; h2=h^2;
tau=h/2;
q0=0; al0=1; be0=0; q1=0; al1=1; be1=0;
for i=1:N+1
    u(i)=0; u1(i)=0; x(i)=(i-1)*h; x1(i)=(i-0.5)*h;
    f(i)=1-x(i)^2;
    g1(i)=1+x1(i)^2;
end;
 t=0;
 plot(x,u);
 %disp('t='); disp(t);
for kt=1:K
    t=t+tau;
for i=2:N
    a(i)=wr*tau/h2*g1(i-1);
    c(i)=wr*tau/h2*g1(i);
    b(i)=-a(i)-c(i)-1;
    ad=(1-wr)*tau/h2*g1(i-1);
    cd=(1-wr)*tau/h2*g1(i);
    bd=-ad-cd+1;
    d(i)=-ad*u(i-1)-bd*u(i)-cd*u(i+1)-tau*f(i);
end
c(1)=q0/h; b(1)=al0-q0/h; d(1)=be0;
a(N+1)=-q1/h; b(N+1)=al1+q1/h; d(N+1)=be1; %c(N+1)=0;
%u=mprog(a,b,c,d,N);
ks(1)=-c(1)/b(1);
et(1)=d(1)/b(1);
for i=2:N
    z=b(i)+a(i)*ks(i-1);
    ks(i)=-c(i)/z;
    et(i)=(d(i)-a(i)*et(i-1))/z;
end
u1(N+1)=(d(N+1)-a(N+1)*et(N))/(b(N+1)+a(N+1)*ks(N));
for i=N:-1:1
    u1(i)=ks(i)*u1(i+1)+et(i);
end
em=0;
for i=1:N+1
        e=abs(u1(i)-u(i));
            u(i)=u1(i);
     if e>em
     em=e;
    end
end
if mod(kt,m)==0
   hold on
   pause(0.1);
   plot(x,u);
  %t
   %disp(u);
end
%if em<0.001
%    break
%end
end
hold off
return

Пример программы ($\omega_r=0$)
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис Matlab M
function V1_16_0(N,K,m)
%решение диф ур по явной схеме
%нестационарное уравнение типа теплопроводности
h=1/N; h2=h^2;
tau=h2/4;
q0=0; al0=1; be0=0; q1=0; al1=1; be1=0;
for i=1:N+1
    u(i)=0; u1(i)=0; x(i)=(i-1)*h; x1(i)=(i-0.5)*h;
    f(i)=1-x(i)^2;
    g1(i)=1+x1(i)^2;
end;
u(1)=(be0-q0/h*u(2))/(al0-q0/h);
u(N+1)=(be1+q1/h*u(N))/(al1+q1/h);
plot(x,u);
 t=0;
 %disp('t='); disp(t);
for kt=1:K
    t=t+tau;
    em=0;
for i=2:N
    u1t=u(i)+tau/h^2*(g1(i-1)*u(i-1)-(g1(i-1) + g1(i)) * u(i) + g1(i) * u(i+1)) + tau*f(i);
    e=abs(u1t-u1(i));
if  e>em;
    em=e;
end
u1(i)=u1t;
end
for i=2:N
    u(i)=u1(i);
end
u(1)=(be0-q0/h*u(2))/(al0-q0/h);
u(N+1)=(be1+q1/h*u(N))/(al1+q1/h);
if mod(kt ,m)==0
    hold on
    pause(0.5);
    plot(x,u)
    disp(u);
   % if em<0.001
   %     break
   %end
end
end
hold off
 
return
 


Вопрос, собсветнно в чем: помогите, пожалуйста, разобраться что за переменная $\omega_r$, откуда берутся такие значения шага, откуда берутся такие значения векторов $u$ и $u1$. В общем, пожалуйста, прокомментируйте код, в соответсвии с тем, что написано в прилогаемом материале. А то как я не пытался понять почему код написан именно так, у меня не получается.

Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное уравнение теплопроводности. Численное решение.
Сообщение05.11.2015, 08:38 
Модератор


20/03/14
11513
 i  Сообщение перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

rudolfninja
Просьба изложить основную задачу полностью здесь, с помощью $\TeX$. Таблицу тоже. Остальные формулы тоже.
Сопроводительные материалы можно оставить на картинке.

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение10.11.2015, 17:33 
Модератор


20/03/14
11513
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное уравнение теплопроводности. Численное решение.
Сообщение10.11.2015, 17:49 
Заслуженный участник


30/01/09
5056
rudolfninja в сообщении #1070180 писал(а):
Вопрос, собсветнно в чем: помогите, пожалуйста, разобраться что за переменная $\omega_r$

ИМХО, она обеспечивает плавный переход от неявной к схеме к явной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное уравнение теплопроводности. Численное решение.
Сообщение11.11.2015, 02:04 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Когда значение параметра равно нулю, имеем чисто явную схему, она условно устойчива, поэтому шаг нужно подбирать исходя из условия Куранта-Фридрихса-Леви. Когда $w_r=\frac{1}{2}$, имеем схему Кранка-Николсона, она безусловно устойчива. То же самое можно сказать о $w_r=1$. Если взять любое другое значение параметра, то решение может развалиться. Параметр показывает, какую из комбинаций неявного и явного метода будем использовать.

-- 11.11.2015, 02:07 --

З.Ы. Вектор $u_1$ выражен исходя из краевых условий и того, что в неявном методе используется алгоритм Томаса, который у нас называют прогонкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное уравнение теплопроводности. Численное решение.
Сообщение11.11.2015, 12:55 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Утром прочитал, немного неточно ночью написал. Параметр можно брать от нуля до единицы, нельзя брать отрицательных значений или значений больше единицы

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное уравнение теплопроводности. Численное решение.
Сообщение16.11.2015, 13:11 


04/11/15
8
Спасибо за разъяснения.
А можете еще рассказать про параметры, передаваемые в функцию и в соответствии с чем их выбирать (в частности N, K, m)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное уравнение теплопроводности. Численное решение.
Сообщение16.11.2015, 13:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5000
Нов-ск
rudolfninja в сообщении #1070180 писал(а):
Расчет выполнять до достижения сходимости, т.е. пока
$\max\limits_{i}\left\lvert \overline{u}^k_i - \overline{u}^{k+1}_i \right\rvert \leqslant\varepsilon$
Берите очень маленький шаг по времени. Тогда "сходимость" (согласно этому великолепному критерию) случится за одну итерацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Одномерное уравнение теплопроводности. Численное решение.
Сообщение17.11.2015, 15:33 


04/11/15
8
TOTAL, спасибо за совет, но меня пока что больше интересуют параметры, которыю передаются в функцию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group