производящая функция

[2old]

Вычислите производящую функцию линейной рекуррентной последовательности

$$ z_{n+4}-z_{n+3}+z_{n+2}-z_{n+1}+z_{n} = 0 $$

При начальных условиях $z_0=1, z_1=3, z_2=2, z_3=-5$.
Запишем выражение для $z_n$ верное для всех $n\geq 0$

$$ z_n=z_{n-1}-z_{n-2}+z_{n-3}-z_{n-4}+[n=0]+3[n=1]+2[n=2]-5[n=3] $$

Пусть $G(x)=\sum\limits_{n\geq 0}z_n x^n$, тогда:

$$ G(x)=G(x)(x-x^2+x^3-x^4)+1+3x+2x^2-5x^3 $$

$$ G(x)=\dfrac{1+3x+2x^2-5x^3}{1-x+x^2-x^3+x^4}=\dfrac{1+x^5}{1+x}(1+3x+2x^2-5x^3)=\frac{1}{1+x}(-5x^8+2x^7+3x^6+x^5-5x^3+2x^2+3x+1) $$

Вольфрам говорит что не верно. Не могу понять в чем ошибка

[Xaositect]

2old в сообщении #1073957 писал(а):

$$\dfrac{1+3x+2x^2-5x^3}{1-x+x^2-x^3+x^4}=\dfrac{1+x^5}{1+x}(1+3x+2x^2-5x^3)$$

Вот тут перепутан числитель и знаменатель.

[2old]

Xaositect
Это да, спасибо. Но я когда проверял дробь $\dfrac{1+3x+2x^2-5x^3}{1-x+x^2-x^3+x^4}$ это неверный результат /:

[Xaositect]

Да, действительно. Дело в том, что Ваше равенство неверно при $n = 1, 2, 3$. Например, при $n = 1$ получаем $3 = 1 - 0 + 0 - 0 + 0 + 3 + 0 + 0$
Вместо $[n = 0] + 3[n = 1] + 2[n = 2] - 5[n = 3]$ должно стоять другое выражение $a_0[n = 0] + a_1[n = 1] + a_2[n = 2] + a_3[n = 3]$, которое получается так:
$n = 0$: $z_0 = a_0$
$n = 1$: $z_1 = z_0 + a_1$
$n = 2$: $z_2 = z_1 - z_0 + a_2$
$n = 3$: $z_3 = z_2 - z_1 + z_0 + a_3$

[2old]

Спасибо, понял!