Насколько я понимаю (не претендуя при этом на истину), функциональные уравнения обычно относятся к области "олимпиадной" математики. Т.е. по-видимому, есть набор некоторых частных приемов (порой весьма изящных и изобретательных), с помощью которых решаются некоторые конкретные функциональные уравнения, но какой-то известной общей теории таких уравнений я никогда не встречал.
P.S. В Демидовиче есть ма-а-аленький параграф в конце первой главы "Введение в анализ" под названием "Функциональные уравнения", но там немногочисленные задачи посвящены каким-то уравнениям, имеющим теоретический интерес (типа, доказать, что единственная "хорошая" функция, определенная на всей числовой оси и такая, что
, есть экспонента). Однако вроде большинство преподавателей благополучно обходят этот параграф стороной в первом семестре, т.к. и другого важного материала первокурсникам достаточно.
