Две ракеты

[amon]

Утундрий в сообщении #1073827 писал(а):

Сильное высказывание. А не боитесь, что найдётся режим, при котором разность высот поменяет знак?

bondkim137 в сообщении #1073831 писал(а):

судя по всему, не найдется. мне не удалось его найти,

Двигатели не работали, пока вторая ракета падала вниз, взлетала до исходного положения и ещё чуть падала вниз.

[Skeptic]

bondkim137 в сообщении #1073976 писал(а):

Вы забыли, что при возврате из оврага к точке старта вторая ракета будет иметь скорость, бОльшую, чем первая во время старта..

В момент вылета из оврага второй ракеты обе ракеты будут иметь равные скорости и одинаковые остатки топлива, но по высоте вторая ракета будет отставать от первой на двойную глубину оврага.

[bondkim137]

Skeptic в сообщении #1073987 писал(а):

В момент вылета из оврага второй ракеты обе ракеты будут иметь равные скорости

Это почему вдруг?

-- 16.11.2015, 15:26 --

amon в сообщении #1073986 писал(а):

Двигатели не работали, пока вторая ракета падала вниз, взлетала до исходного положения и ещё чуть падала вниз.

согласен. но такую экзотику я не рассматривал, считая, что ракета все-таки должна лететь носом вперед.
для работоспособности элегантного решения, в случае с непостоянной тягой нужно оговориться, что функция тяги должна быть больше mg

[Skeptic]

bondkim137 в сообщении #1073988 писал(а):

Skeptic в сообщении #1073987

писал(а):
В момент вылета из оврага второй ракеты обе ракеты будут иметь равные скорости
Это почему вдруг?

Ракеты одинаковые: равный запас топлива, расходы топлива и изменения скоростей, создаваемых работой одинаковых двигателей, равны; следовательно через одинаковый промежуток времени после старта скорости ракет будут равны, а вторая ракете отстанет по высоте от первой.

[amon]

Skeptic в сообщении #1073997 писал(а):

Ракеты одинаковые: равный запас топлива, расходы топлива и изменения скоростей, создаваемых работой одинаковых двигателей

Просвещайтесь.

[bondkim137]

Skeptic в сообщении #1073997 писал(а):

через одинаковый промежуток времени после старта скорости ракет будут равны

если одна ракета разгоняется вверх, а вторая вниз - с чего скорости у них будут равны?

[slavav]

Пусть $a_i(t)$, $v_i(t)$, $h_i(t)$ - ускорения, скорости и высоты двух ракет ($i = 1, 2$) относительно точки старта, $g$ - модуль ускорения свободного падения, $t_1$ - время удара второй ракеты о дно, $t_2$ - время выключения двигателей обеих ракет.
Введём характеристику $Z_i(t) = gh_i(t) + \frac{v_i^2(t)}{2}$.
Тогда $Z_i'(t) = (gh_i(t) + \frac{v_i^2(t)}{2})' = gv_i(t) + v_i(t)a_i(t) = v_i(t)(a_i(t) + g)$.
Интегрируем равенство:
$Z_i(t) - Z_i(0) = \int\limits_{0}^{t}v_i(t)(a_i(t) + g)dt$.
Пусть $a(t)$ модуль реактивного ускорения.
Выпишем ускорения ракет в предположении $t_1 \leqslant t_2$:
$a_1(t) = \begin{cases} a(t) - g,&\text{если $t \leqslant t_2$;}\\ -g,&\text{если $t_2 \leqslant t$.} \end{cases}$

$a_2(t) = \begin{cases} -a(t) - g,&\text{если $t \leqslant t_1$;}\\ a(t) - g,&\text{если $t_1 \leqslant t \leqslant t_2$;}\\ -g,&\text{если $t_2 \leqslant t$.} \end{cases}$

Если $0 < t < t_1$ и $a(t) > 0$ сразу после старта, то $v_1(t) < -v_2(t)$. Отсюда следует
$v_1(t)(a_1(t) + g) \leqslant v_2(t)(a_2(t) + g)$ если $t \leqslant t_1$. Неравенство становится строгим, если где-то $a(t) > 0$.

Если $t_1 \leqslant t \leqslant t_2$, то $v_2(t) = v_1(t) + \operatorname{const}$, $\operatorname{const} > 0$. Отсюда следует
$v_1(t)(a_1(t) + g) \leqslant v_2(t)(a_2(t) + g)$ если $t_1 \leqslant t \leqslant t_2$.

Следовательно $Z_1'(t) \leqslant Z_2'(t)$, если $t \leqslant t_2$. Неравенство становится строгим, если где-то есть ненулевое реактивное ускорение.

Из неравенств для производных следует неравенство для интегралов: $Z_1(t_2) < Z_2(t_2)$.

Характеристики $Z_i$ неизменны в свободном полёте. Апогеям соответствуют нулевые скорости. Тогда из $Z_1(t_2) < Z_2(t_2)$ следует $H_1 < H_2$ для высот апогеев.

Замечания:
1. Аналогичный, более простой анализ делается если $t_2 \leqslant t_1$.
2. Последний переход от характеристик к апогеям верен, только если скорости в момент выключения двигателей направлены вверх. Если это не так (очень слабые двигатели), то апогеи достигаются до выключения двигателей. В этом случае анализ сложнее, но тоже приводит к выводу что вторая ракета оказывается выше.
3. В этом выводе нет энергий и мощностей, чтобы не смущать интуицию. Но если вы умножите $Z_i$ на массу то получите энергию, а после дифференцирования - мощность.
4. Динамика ракеты не имеет отношения к решению задачи. При любой функции $a(t)$ вы получите один и тот же результат.

[dovlato]

Пусть $v=v(t)\ge 0$ - скорость, которую в произвольный момент времени имела бы ракета в условиях невесомости.
Естественно считать её неубывающей функцией (двигатель не тормозит).
Обозначим через $t_0$ время, необходимое 2й ракете для достижения дна; $v_0=v(t_0)$.
Скорости 1й и 2й ракет при $t=t_0:\quad v_1=v_0-gt_0;\quad v_2=v_0+gt_0$
Полная механическая энергия ракет в этот момент:

$$E_1=mg\left[\int_0^{t_0}v(t)dt -g\frac{t_0^2}2\right]+m\frac{(v_0-gt_0)^2}2$$

Аналогично для 2й ракеты

$$E_2=- mg\left[\int_0^{t_0}v(t)dt +g\frac{t_0^2}2\right]+m\frac{(v_0+gt_0)^2}2$$

Отсюда получаем разность энергий на момент $t_0$

$$\Delta E=E_2-E_1=2mg\int_0^{t_0}\left[v_0-v(t)\right]dt\ge 0$$

После момента $t_0$ разность скоростей ракет

$$\Delta v=v_2(t)-v_1(t)=2gt_0>0$$

Поэтому при условии, что сила тяги равна $f(t)\ge 0$, механическая мощность, развиваемая 2й ракетой, будет больше на величину:

$$\Delta P=2fgt_0\ge 0$$

Следовательно, механическая энергия 2й ракеты будет больше, а поэтому она и достигнет большей высоты.

[Skeptic]

dovlato в сообщении #1074031 писал(а):

Поэтому при условии, что сила тяги равна $f(t)\ge 0$, механическая мощность, развиваемая 2й ракетой, будет больше на величину:

$$\Delta P=2fgt_0\ge 0$$

Следовательно, механическая энергия 2й ракеты будет больше, а поэтому она и достигнет большей высоты.

Это справедливо на дне оврага, а ракете ещё предстоит вылететь из него. Какова будет энергия второй ракеты при возврате в точку старта?

[slavav]

Энергия будет больше. После того как вторая ракета развернулась на дне оврага, её скорость больше скорости первой ракеты. Ускорения одинаковы. Следовательно разница в скорости постоянна. Тогда вторая ракета развивает большую механическую мощность, её энергия растёт быстрее энергии первой ракеты.

[dovlato]

У нас с slavav практически одинаковый подход: $Z_i$ - с точностью до множителя та же энергия.

[slavav]

dovlato в сообщении #1074644 писал(а):

У нас с slavav практически одинаковый подход: $Z_i$ - с точностью до множителя та же энергия.

Это правда, я избавился от энергии и мощности, что бы не смущать всех вопросами "А применим ли закон сохранения энергии к ракете у которой меняется масса в полёте?", "А почему две одинаковые ракеты развивают разные мощности?". Оба вопроса даже нельзя задать по отношению к моему решению, хотя решение, конечно, чисто энергетическое.

[dovlato]

Мне кажется, именно в данной задаче изменение масс со временем никак не повлияют на исходный вопрос.
Просто потому, что в любой момент времени массы по условию совпадают. И если в какой-то момент энергия одной из них больше,
а последующая механическая мощность - не меньше, то и взлетит она также выше.
Тогда как при различии масс - вообще говоря, может быть почти любой ответ.

[Утундрий]

Посмотрел случай постоянных ускорений. Вроде как подъём после нырка выше только если тяговооружённость от единицы до двух.

[slavav]

Утундрий в сообщении #1074663 писал(а):

Посмотрел случай постоянных ускорений. Вроде как подъём после нырка выше только если тяговооружённость от единицы до двух.

Пусть тяговооружённость 3. После нырка вторая ракета движется быстрее первой. Подождём пока вторая ракета догонит первую. Выключим двигатели на обеих ракетах. Вторая наберёт большую высоту в свободном полёте. Пример работает для любой тяговооруженности, меняется только время, которое нужно чтобы догнать.

-- 18.11.2015, 19:27 --

dovlato в сообщении #1074657 писал(а):

Мне кажется, именно в данной задаче изменение масс со временем никак не повлияют на исходный вопрос.

Я в этом абсолютно уверен. Это вообще задача про кинематику, а не про динамику.