Кривая интенсивности отказов

[Евгений Машеров]

Я не вижу подтверждений "одинаковости с точностью до параметром" в поведении разных систем. Если докажете - не премените пригласить меня на Нобелевский банкет. Наличие нисходящей и восходящей ветвей ещё не "одинаковость".

[prof.uskov]

Евгений Машеров в сообщении #1068844 писал(а):

Я не вижу подтверждений "одинаковости с точностью до параметром" в поведении разных систем. Если докажете - не премените пригласить меня на Нобелевский банкет. Наличие нисходящей и восходящей ветвей ещё не "одинаковость".

Конечно же, они еще должны быть выгнуты в одинаковую сторону. :)
Тогда объясните почему при столь разных механизмах старения мы наблюдаем одну и туже кривую?

(Оффтоп)

А в области какой науки за это можно получить Нобелевку?
Это - теория систем. Спросите у Muninа и он наверняка скажет, что такой науки нет. :)

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Я бы попробовал экономику. Или акцентировать на жизни биообъектов, и требовать по медицине.

[arseniiv]

prof.uskov в сообщении #1068853 писал(а):

Конечно же, они еще должны быть выгнуты в одинаковую сторону. :)

Это получится автоматически при некоторых естественных условиях (гладкость до второго порядка). Минимум требует, чтобы вокруг него вторая производная тогда была положительна. Ограниченность сверху даёт ещё кое-что. Получается и правда необходимость малой общности процессов, чтобы соответствующие функции были «похожи».

[prof.uskov]

profrotter в сообщении #1068741 писал(а):

Далее, начиная с некоторого момента времени $T_{Step}$ вероятность $P_{Fail}$ возрастает со временем по некоторому закону, например $P_{Fail}(t+1)=1,01P_{Fail}(t)$.

Пригляделся более пристально к Вашему возрастанию на этапе старения, у Вас показательная функция, а нужна степенная, если верить Вейбуллу.
Но, собственно, даже если заменить формулу, все равно это будет не объясняющая модель, а всего лишь аппроксимирующая зависимость. Получается, хорошо объясним лишь этап приработки, нормальную эксплуатацию тоже можно понять, считая отказ редким случайным событием. Проблемы со старением.

-- 03.11.2015, 00:04 --

Сформулирую вопрос явно, почему изделия стареют по степенному закону, а не, скажем, линейному или показательному?

[Евгений Машеров]

Для начала - совершенно не доказано, что степенной закон - закон, а не наилучшая аппроксимация.

[prof.uskov]

Евгений Машеров в сообщении #1069744 писал(а):

Для начала - совершенно не доказано, что степенной закон - закон, а не наилучшая аппроксимация.

У нас мало данных по старению технических изделий, но много данных по демографии. Интенсивность на участке старения растет явно быстрее чем линейная зависимость. Объясняющая модель, на основе Вашей идеи давала линейный рост, значит механизм описан неверно.
Нужно придумать другую объясняющую модель и посмотреть какой рост будет давать она... вот, если привязать ветвящиеся процессы или фракталы для описания роста дефектов, то вроде бы зависимость получается степенной.

[Александрович]

prof.uskov в сообщении #1069798 писал(а):

У нас мало данных по старению технических изделий, но много данных по демографии. Интенсивность на участке старения растет явно быстрее чем линейная зависимость.

Это давно изучено и используется страховыми компаниями. Лучше чем распределение Вейбулла не подберёте.

[prof.uskov]

Александрович в сообщении #1069841 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1069798 писал(а):

У нас мало данных по старению технических изделий, но много данных по демографии. Интенсивность на участке старения растет явно быстрее чем линейная зависимость.

Это давно изучено и используется страховыми компаниями. Лучше чем распределение Вейбулла не подберёте.

Распределение Вейбулла - это степенная зависимость. Цель не улучшить, а объяснить.
А уже потом будем думать, какие следствия можно получить.

[Александрович]

prof.uskov в сообщении #1069844 писал(а):

Распределение Вейбулла - это степенная зависимость.

Интенсивность отказов для распределения Вейбулла является степенной зависимостью.

[prof.uskov]

Александрович в сообщении #1069854 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1069844 писал(а):

Распределение Вейбулла - это степенная зависимость.

Интенсивность отказов для распределения Вейбулла является степенной зависимостью.

Я это и имел в виду.

[profrotter]

Я так и не понял каким образом приходят к распределению Вейбулла и с какого потолка падает степенная зависимость.
Я решил посмотреть интенсивность отказов для модели

profrotter в сообщении #1068741 писал(а):

Каждое устройство изготавливается с дефектом с некоторой вероятностью $P_{Brak}$. Если устройство получилось бракованным, то вероятность выхода его из строя $P_{FailBrak}$, если без дефекта - то $P_{Fail}<P_{FailBrak}$. Эта модель даёт два первых участка кривой. Далее, начиная с некоторого момента времени $T_{Step}$ вероятность $P_{Fail}$ возрастает со временем по некоторому закону

На первом участке зависимости выходят из строя все бракованные изделия и на участках нормальной эксплуатации и старения остаются только не бракованные. Вот с этих участков я и начну.

Интенсивность отказов определяется по формуле $\lambda(t)=\frac{n}{\Delta t(N-n/2)}$, где $n$ - количество вышедших из строя изделий за интервал наблюдения от $t$ до $t+\Delta t$, $N$ - количество исправных изделий на момент времени $t$. Полагая вероятность выхода из строя $P_{Fail}<<1$, а количество изделий на момент времени $t$ большим, скажем, что $N>>n$, в знаменателе пренебрежём $\frac{n}{2}$, так, что $\lambda(t)\approx\frac{n}{N\Delta t}$. (Предположение о том, что $N>>n$ несколько ограничивает наши рассуждения в период старения, когда изделий становится мало. Будем считать, что мы не рассматриваем такую ситуацию.)

В каждом конкретном жизненном цикле изделий мы можем получить не в точности график интенсивности отказов, а реализацию случайного процесса, математическим ожиданием которого и является $\lambda(t)$, то есть

$$\lambda(t)\approx M\left\{\frac{n}{N\Delta t}\right\}=\frac{M\{n\}}{N\Delta t}=\frac{NP_{Fail}\Delta t}{N\Delta t}= P_{Fail}$$

Интенсивность отказов, таким образом, на этапе нормальной эксплуатации и в период старения повторяет зависимость $P_{Fail}(t)$. Там, где вероятность выхода из строя изделия от времени не зависит, остаётся постоянной и интенсивность отказов. Там, где $P_{Fail}(t)$ возрастает в связи с износом - возрастает и интенсивность отказов.

Теперь период приработки. На этом этапе на интервале от $t$ до $t+\Delta t$ отказывают $n_b$ бракованных и $n$ небракованных изделий поэтому $\lambda(t)\approx\frac{n_b+n}{N\Delta t}=\frac{n_b}{N\Delta t}+\frac{n}{N\Delta t}$. Усредняя по ансамблю жизненных циклов (рассмаривая многократные повторения жизненных циклов изделий), запишем:

$$\lambda(t)\approx M\left\{\frac{n_b}{N\Delta t}+\frac{n}{N\Delta t}\right\}=\frac{M\{n_b\}}{N\Delta t}+P_{Fail}$$

Рассмотрим первое слагаемое $\lambda_b(t)=\frac{M\{n_b\}}{N\Delta t}$:
Обозначив $N_b(0)$ - количество бракованных изделий, в начальный момент времени запишем:

$$\lambda_b(0)=\frac{M\{n_b(0)\}}{N\Delta t}=\frac{P_{FailBrak}N_b(0)}{N},$$

На следующем шаге в среднем

$$N_b(\Delta t)=N_b(0)-n_b(0)=N_b(0)-N_b(0)P_{FailBrak}=N_b(0)(1-P_{FailBrak}),$$

а вот общее количество изделий будем считать неизменным (пренебрежём количеством вышедших из строя по сравнению с общим количеством на всём периоде приработки), тогда

$$\lambda_b(\Delta t)=\frac{P_{FailBrak}N_b(\Delta t)}{N}=\frac{P_{FailBrak}N_b(0)(1-P_{FailBrak})}{N},$$

$$N_b(2\Delta t)=N_b(\Delta t)-n_b(\Delta t)=N_b(\Delta t)-N_b(\Delta t)P_{FailBrak}=N_b(\Delta t)(1-P_{FailBrak})=N_b(0)(1-P_{FailBrak})^2.$$

...
На $k$-м шаге

$$\lambda_b(k\Delta t)=\frac{P_{FailBrak}N_b(k\Delta t)}{N}=\frac{P_{FailBrak}N_b(0)(1-P_{FailBrak})^k}{N},$$

Полагая в среднем $N_b(0)=NP_{Brak}$, получим

$$\lambda_b(k\Delta t)=P_{Brak}P_{FailBrak}(1-P_{FailBrak})^k.$$

Результирующая зависимость для кривой интенсивности отказов в дискретном времени:

$$\lambda(k\Delta t)\approx P_{Brak}P_{FailBrak}(1-P_{FailBrak})^k+P_{Fail}(k\Delta t).$$

Результаты моделирования при $P_{Brak}=0,25$; $P_{FailBrak}$=0.05; $N=10000$; усреднение по 10 жизненным циклам. Сплошной красной линией показана полученная зависимость.
1. $P_{Fail}(t)=0,001+k\sigma(t-t_0)(t-t_0)^2$, $k$ - параметр, $t_0=1000$ - порог старения, $\sigma(t)$- функция Хевисайда

Вложение:

1.jpg

2. $P_{Fail}(t)=0.001+A\sigma(t-t_0)(1.0-\exp\left(-\frac{(t-t_0)}{\tau}\right))$ $A,\tau$ - параметры

Вложение:

2.jpg

3. $P_{Fail}(t)=0,001 при $t<t_0$ и $P_{Fail}(t)=0,001\exp\left(\frac{t-t_0}{\tau}\right)$ при $t>t_0$.

Вложение:

3.jpg

[prof.uskov]

profrotter в сообщении #1073711 писал(а):

1. $P_{Fail}(t)=0,001+k\sigma(t-t_0)(t-t_0)^2$, $k$ - параметр, $t_0=1000$ - порог старения, $\sigma(t)$- функция Хевисайда
2. $P_{Fail}(t)=0.001+A\sigma(t-t_0)(1.0-\exp\left(-\frac{(t-t_0)}{\tau}\right))$ $A,\tau$ - параметры
3. $P_{Fail}(t)=0,001 при $t<t_0$ и $P_{Fail}(t)=0,001\exp\left(\frac{t-t_0}{\tau}\right)$ при $t>t_0$.

Откуда эти формулы?

profrotter в сообщении #1073711 писал(а):

Я так и не понял каким образом приходят к распределению Вейбулла и с какого потолка падает степенная зависимость.

Вот я это тоже пытаюсь понять...
Распределение Вейбулла со своей степенной зависимостью наилучшем образом описывает реальный процесс старения.
Если модель с ним не совпадает - это плохая модель.

[profrotter]

prof.uskov в сообщении #1073814 писал(а):

Откуда эти формулы?

Это три различных зависимости, которые я использовал, чтобы убедиться, что полученное выражение для $\lambda(t)$ соответствует результатам моделирования. Они ниоткуда - они просто выбраны наугад из огромного количества других возможных зависимостей.

prof.uskov в сообщении #1073814 писал(а):

Распределение Вейбулла со своей степенной зависимостью наилучшем образом описывает реальный процесс старения. Если модель с ним не совпадает - это плохая модель.

Простите, но зачем вы повторяете из раза в раз это ничем не обоснованное и неверное утверждение, когда уже несколько человек в теме вам сказали, что это неверно? Вы путаете причину и следствие. Закон распределения может быть выбран по результатам экспериментального исследования. Нет никаких теоретических и практических предпосылок, которые бы указывали именно на степенной закон, подобных, например, ЦПТ.

Вот пройдите пожалуйста по ссылке Надёжность технических систем и техногенный риск, п.4.3. Теоретические законы распределения отказов и ознакомьтесь. Обратите внимание на рис. 4.3.3: этапу старения соответствуют распределение Вейбулла, гамма-распределение, гауссово и усечённое гауссово распределения, распределение Релея. В принципе при желании можно натянуть и какие-нибудь другие. Каждому из этих случаев соответствует свой характер временного поведения интенсивности отказов. Каждый из этих случаев соответствует своей практической ситуации: структуре устройства, особенностям эксплуатации и тд. Так источник указывает, например:

Надёжность технических систем и техногенный риск писал(а):

Гамма-распределение ... Этому распределению подчиняется время работы резервированных устройств.
...
Распределение Вейбулла имеет место для отказов, возникающих по причине усталости тела детали или поверхностных слоев (подшипники, зубчатые передачи). Этот случай связан с развитием усталостной трещины в зоне местной концентрации напряжений, технологического дефекта или начального повреждения. Период времени до зарождения микротрещины характеризуется признаками внезапного отказа, а процесс разрушения - признаками износового отказа.
...
Нормальное распределение ... возникает всякий раз, когда ... зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из этих факторов по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Это условие характерно для времени возникновения отказа, вызванного старением, т.е. этот закон используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных (износовых) отказов.
...
Монотонное возрастание интенсивности отказов с течением времени - характерный признак нормального распределения.
...
Также как и распределение Вейбулла или g-распределение, распределение Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся или стареющих изделий.
...
Закон распределения отказов можно определить по экспериментальным данным, но для этого необходимо проведение большого числа опытов в идентичных условиях. Практически эти условия, как правило, трудно обеспечить. Кроме того, такое решение содержит черты пассивной регистрации событий.

Вместе с тем во многих случаях за время эксплуатации успевает отказать лишь незначительная доля первоначально имевшихся объектов. Полученным статистическим данным соответствует начальная (левая) часть экспериментального распределения.

Более рационально - изучение условий, физических процессов при которых возникает то или другое распределение. При этом составляются модели возникновения отказов и соответствующие им законы распределения времени до появления отказа, что позволяет делать обоснованные предположения о законе распределения.

Опытные данные должны служить средством проверки обоснованности прогноза, а не единственным источником данных о законе распределения. Такой подход необходим для оценки надежности новых изделий, для которых статистический материал весьма ограничен.

А я, кажется, понял в чём корень зла. Думаю вероятность выхода из строя изделия в модели следует оставить постоянной. Это по сути будет вероятность внезапного отказа. Но ввести ещё и постепенный отказ, который сделать на основе многожильного каната Евгений Машеров. Будет время и желание - посмотреть что получится, а потом, может быть, набросать выражение для зависимости. Интересно.

[prof.uskov]

profrotter в сообщении #1073900 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1073814 писал(а):

Откуда эти формулы?

Это три различных зависимости, которые я использовал, чтобы убедиться, что полученное выражение для $\lambda(t)$ соответствует результатам моделирования. Они ниоткуда - они просто выбраны наугад из огромного количества других возможных зависимостей.

Приходится повторяться. Это аппроксимация, а нам интересен механизм.

profrotter в сообщении #1073900 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1073814 писал(а):

Распределение Вейбулла со своей степенной зависимостью наилучшем образом описывает реальный процесс старения. Если модель с ним не совпадает - это плохая модель.

Простите, но зачем вы повторяете из раза в раз это ничем не обоснованное и неверное утверждение, когда уже несколько человек в теме вам сказали, что это неверно? Вы путаете причину и следствие. Закон распределения может быть выбран по результатам экспериментального исследования. Нет никаких теоретических и практических предпосылок, которые бы указывали именно на степенной закон, подобных, например, ЦПТ.

Вот пройдите пожалуйста по ссылке Надёжность технических систем и техногенный риск, п.4.3. Теоретические законы распределения отказов и ознакомьтесь. Обратите внимание на рис. 4.3.3: этапу старения соответствуют распределение Вейбулла, гамма-распределение, гауссово и усечённое гауссово распределения, распределение Релея. В принципе при желании можно натянуть и какие-нибудь другие. Каждому из этих случаев соответствует свой характер временного поведения интенсивности отказов. Каждый из этих случаев соответствует своей практической ситуации: структуре устройства, особенностям эксплуатации и тд. Так источник указывает, например:

Надёжность технических систем и техногенный риск писал(а):

Гамма-распределение ... Этому распределению подчиняется время работы резервированных устройств.
...
Распределение Вейбулла имеет место для отказов, возникающих по причине усталости тела детали или поверхностных слоев (подшипники, зубчатые передачи). Этот случай связан с развитием усталостной трещины в зоне местной концентрации напряжений, технологического дефекта или начального повреждения. Период времени до зарождения микротрещины характеризуется признаками внезапного отказа, а процесс разрушения - признаками износового отказа.
...
Нормальное распределение ... возникает всякий раз, когда ... зависит от большого числа однородных по своему влиянию случайных факторов, причем влияние каждого из этих факторов по сравнению с совокупностью всех остальных незначительно. Это условие характерно для времени возникновения отказа, вызванного старением, т.е. этот закон используется для оценки надежности изделий при наличии постепенных (износовых) отказов.
...
Монотонное возрастание интенсивности отказов с течением времени - характерный признак нормального распределения.
...
Также как и распределение Вейбулла или g-распределение, распределение Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся или стареющих изделий.
...
Закон распределения отказов можно определить по экспериментальным данным, но для этого необходимо проведение большого числа опытов в идентичных условиях. Практически эти условия, как правило, трудно обеспечить. Кроме того, такое решение содержит черты пассивной регистрации событий.

Вместе с тем во многих случаях за время эксплуатации успевает отказать лишь незначительная доля первоначально имевшихся объектов. Полученным статистическим данным соответствует начальная (левая) часть экспериментального распределения.

Более рационально - изучение условий, физических процессов при которых возникает то или другое распределение. При этом составляются модели возникновения отказов и соответствующие им законы распределения времени до появления отказа, что позволяет делать обоснованные предположения о законе распределения.

Опытные данные должны служить средством проверки обоснованности прогноза, а не единственным источником данных о законе распределения. Такой подход необходим для оценки надежности новых изделий, для которых статистический материал весьма ограничен.

Хорошо, уговорили. Но задача только усложнилась. Получается существует несколько разные механизмов отказов: вейбулловский отказ, нормальный отказ... и т.д. и для каждого из них нужно строить модель, объясняющую происходящее.
P.S. Обратите внимание, для этапа приработки механизм падения интенсивности отказов хорошо известен - выбывание бракованных изделий, а вот для старения Вы его не знаете и упорно впихиваете аппроксимацию, вместо того, чтобы точно также построить объясняющую модель.