Комплексные числа/функции и мат. пакеты

[trarbish]

Добрый день!

У меня возник следующий вопрос. Рассматриваю такую функцию:
$Z(z)=1/\sqrt{z(z+b)}$
где $z=x+iy$

Затем я хочу построить поверхность от мнимой (либо действительной, не суть) части этой функции, т.е $\operatorname{Im}[Z(z)]$ (либо $\operatorname{Re}[Z(z)]$). Я пытался это сделать в Mathematica и Matlab. Обе программы мне выдают точку разрыва при $x=-b/2$. Я не понимаю, почему так получается. Никакого разрыва не должно быть исходя из физики той задачи, где используется эта функция.




Спасибо за помощь!

[ewert]

trarbish в сообщении #1073674 писал(а):

Я не понимаю, почему так получается

Потому, что подкоренное выражение при этом попадает на вещественную отрицательную полуось, а пакеты делают разрез для корня именно там. Должны же они его где-то делать.

[trarbish]

ewert в сообщении #1073687 писал(а):

Потому, что подкоренное выражение при этом попадает на вещественную отрицательную полуось, а пакеты делают разрез для корня именно там. Должны же они его где-то делать.

Спасибо за ответ. Не до конца понятно, ведь подкоренное выражение будет отрицательным, когда $-b<z<0$. А здесь это происходит в точке $z=-b/2$. И почему пакеты "должны" где-то делать разрез? Точнее вопрос, как заставить, чтобы это делалось правильно?

[ewert]

trarbish в сообщении #1073699 писал(а):

ведь подкоренное выражение будет отрицательным, когда $-b<z<0$

Нет, ровно при $x=-\frac{b}2$. Тогда под корнем будет как раз $-y^2-\frac{b^2}4$.

trarbish в сообщении #1073699 писал(а):

почему пакеты "должны" где-то делать разрез?

Потому, что корень -- ветвящаяся функция.

trarbish в сообщении #1073699 писал(а):

как заставить, чтобы это делалось правильно?

Ну, скажем, вставить под корень минус, а потом умножить или разделить его на мнимую единицу.

[trarbish]

ewert в сообщении #1073707 писал(а):

Нет, ровно при $x=-\frac{b}2$. Тогда под корнем будет как раз $-y^2-\frac{b^2}4$.

А, понял, то есть разрыв происходит, когда остается только отрицательная вещественная часть под корнем.

ewert в сообщении #1073707 писал(а):

Ну, скажем, вставить под корень минус, а потом умножить или разделить его на мнимую единицу.

Спасибо большое, мне надо осмыслить эту идею.

Как вы думаете, если в дальнейшем мне нужно будет дифференцировать эту функцию, то такая модификация функции (под корень минус, умножить на мнимую единицу) будет все также "правильно" работать? Будет выбирать нужную мне ветвь?

[ewert]

Бог его знает. Боюсь, что в каждом конкретном случае придётся разбираться отдельно.

Чего ж Вы хотите от железок -- они ведь всего-навсего железки. Им нужно в неоднозначном случае выбрать какой-то один ответ -- они и выбирают, в достаточной степени с потолка. И ниоткуда не следует, что для производных этот потолок окажется ровно таким же.

Хотя, может, и окажется; бог его знает.

[trarbish]

ewert в сообщении #1073851 писал(а):

Бог его знает. Боюсь, что в каждом конкретном случае придётся разбираться отдельно.

Чего ж Вы хотите от железок -- они ведь всего-навсего железки. Им нужно в неоднозначном случае выбрать какой-то один ответ -- они и выбирают, в достаточной степени с потолка. И ниоткуда не следует, что для производных этот потолок окажется ровно таким же.

Хотя, может, и окажется; бог его знает.

Потолок оказался тем же самым, как оказалось.

Хотя я пошел другим путем. Заменил алгебраическую запись комплексного числа $z$ на показательную. Неудобный корень ушел (остался только корень от модулей). Теперь все хорошо рисует. И можно быть уверенным в расчете производной.