2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система алгебраических уравнений
Сообщение11.11.2015, 11:41 


09/10/15
50
Добрый день. Натолкнулся на следующую систему алгебраических уравнений.
Пусть $a=(a_0,a_1\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$. Требуется проверить существует ли $x\in\mathbb{R}^{n+1}$, который является решением системы:
$a_0=\sum\limits_{p=0}^n x^2_p,$
$a_k=\sum\limits_{p=0}^{n-k}x_{k+p}x_p,\ k=\overline{1,n}.$

Наверное, общего критерия существования решения, которым удобно пользоваться нет. Подскажите, пожалуйста, литературу по подобным системам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система алгебраических уравнений
Сообщение11.11.2015, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Мне кажется, это задача на квадратичные формы и квадрики.

Прошу прощения за ляпнутую чушь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система алгебраических уравнений
Сообщение11.11.2015, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А по-моему, это задача на преобразование Фурье, если я нигде не ошибся.

Рассмотрите многочлен $X(p) = \sum x_i p^i$, свяжите Вашу систему с коэффициентами многочлена $X(p) X(1/p)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система алгебраических уравнений
Сообщение11.11.2015, 22:18 


09/10/15
50
Это понятно.
$X(p)X(1/p)=\left(\sum\limits_{k=0}^{n}x_k p^k\right)\left(\sum\limits_{k=0}^{n}x_k p^{-k}\right)=\sum\limits_{k=-n}^{n}a_k p^k$, где $a_{-k}=a_k$;
Подставив $p=e^{i\theta},\theta\in\mathbb{R}$ в равенство получим.
$\left(\sum\limits_{k=0}^{n}x_k e^{i\theta k}\right)\overline{\left(\sum\limits_{k=0}^{n}x_k e^{i\theta k}\right)}=\sum\limits_{k=-n}^{n}a_k e^{i\theta k}$,т.е
$\left|X(e^{i\theta k})\right|^2=\sum\limits_{k=-n}^{n}a_k e^{i\theta k}$.
$a_k$ -коэффициенты неотрицательного тригонометрического многочлена(в данном случае по косинусам).
Далее, тригонометрический многочлен неотрицателен т.т.т., когда последовательность его коэффициентов является положительно определенной на $\mathbb{Z}$. По теореме Бохнера. $\{a_k\}_{k=-\infty}^\infty$, где $a_k=0, |k|>n$ положительно определена, т. и т. т., когда на окружности существует конечная неотрицательная мера $\mu$, т.ч. $a_k=\int\limits_{\mathbb{T}} e^{ikt}d\mu(t), k\in\mathbb{Z}.$

С этого я начал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система алгебраических уравнений
Сообщение12.11.2015, 12:54 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Есть очевидные необходимые условия существования решения системы: $$a_0\geq 0, a_0+2\sum \limits _{k=1}^n a_k=\left (\sum \limits _{k=0}^n x_k\right )^2\geq 0, \sum \limits _{k=1}^n a_k\leq \frac n2a_0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система алгебраических уравнений
Сообщение12.11.2015, 23:11 


09/10/15
50
Первое и второе неравенства мне очевидны. Из свойств положительно определенных после-ей получим, что $a_0\geqslant|a_k|,\ \forall k$ - первое неравенство. Второе получим подставив $\theta=0$ в многочлен. Третье не очевидно для меня.
$\sum\limits_{k=1}^n a_k\leqslant\sum\limits_{k=1}^n |a_k|\leqslant na_0$. Но оно выходит грубей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система алгебраических уравнений
Сообщение13.11.2015, 08:48 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Третье неравенство можно доказать так:$$\sum \limits _{k=1}^na_k=\sum \limits _{k=1}^n\left (\sum \limits _{p=0}^{n-k}x_{k+p}x_p\right )\leq \frac 12\sum \limits _{k=1}^n\left (\sum \limits _{p=0}^{n-k}(x_{k+p}^2+x^2_p)\right )=\frac n2 \sum \limits _{i=0}^n x_i^2=\frac n2a_0$$Так как в последней двойной сумме каждое слагаемое $x_i^2, (i=0,\dots ,n)$ содержится $n$ раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система алгебраических уравнений
Сообщение13.11.2015, 15:55 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Система однородная по $x$, можно ограничиться случаем $a_0=1$. Тогда нужное множество будет образом единичной сферы $S^{n+1}$ в $\mathbb R^n$ при отображении $x\to a=(a_1,\ldots,a_n)$. Если я правильно прикинул с помощью компьютера, для $n=2$ и $n=3$ это множества выпуклы. На плоскости, похоже, граница состоит из двух отрезков и части эллипса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система алгебраических уравнений
Сообщение14.11.2015, 17:32 


09/10/15
50
mihiv, Спасибо.

Vince Diesel в сообщении #1073003 писал(а):
для $n=2$ и $n=3$ это множества выпуклы

А это уже интересно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group