Система алгебраических уравнений

[RabbitXO]

Добрый день. Натолкнулся на следующую систему алгебраических уравнений.
Пусть $a=(a_0,a_1\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$. Требуется проверить существует ли $x\in\mathbb{R}^{n+1}$, который является решением системы:
$a_0=\sum\limits_{p=0}^n x^2_p,$
$a_k=\sum\limits_{p=0}^{n-k}x_{k+p}x_p,\ k=\overline{1,n}.$

Наверное, общего критерия существования решения, которым удобно пользоваться нет. Подскажите, пожалуйста, литературу по подобным системам.

[Munin]

Мне кажется, это задача на квадратичные формы и квадрики.

Прошу прощения за ляпнутую чушь.

[Xaositect]

А по-моему, это задача на преобразование Фурье, если я нигде не ошибся.

Рассмотрите многочлен $X(p) = \sum x_i p^i$, свяжите Вашу систему с коэффициентами многочлена $X(p) X(1/p)$.

[RabbitXO]

Это понятно.
$X(p)X(1/p)=\left(\sum\limits_{k=0}^{n}x_k p^k\right)\left(\sum\limits_{k=0}^{n}x_k p^{-k}\right)=\sum\limits_{k=-n}^{n}a_k p^k$, где $a_{-k}=a_k$;
Подставив $p=e^{i\theta},\theta\in\mathbb{R}$ в равенство получим.
$\left(\sum\limits_{k=0}^{n}x_k e^{i\theta k}\right)\overline{\left(\sum\limits_{k=0}^{n}x_k e^{i\theta k}\right)}=\sum\limits_{k=-n}^{n}a_k e^{i\theta k}$,т.е
$\left|X(e^{i\theta k})\right|^2=\sum\limits_{k=-n}^{n}a_k e^{i\theta k}$.
$a_k$ -коэффициенты неотрицательного тригонометрического многочлена(в данном случае по косинусам).
Далее, тригонометрический многочлен неотрицателен т.т.т., когда последовательность его коэффициентов является положительно определенной на $\mathbb{Z}$. По теореме Бохнера. $\{a_k\}_{k=-\infty}^\infty$, где $a_k=0, |k|>n$ положительно определена, т. и т. т., когда на окружности существует конечная неотрицательная мера $\mu$, т.ч. $a_k=\int\limits_{\mathbb{T}} e^{ikt}d\mu(t), k\in\mathbb{Z}.$

С этого я начал.

[mihiv]

Есть очевидные необходимые условия существования решения системы:

$$a_0\geq 0, a_0+2\sum \limits _{k=1}^n a_k=\left (\sum \limits _{k=0}^n x_k\right )^2\geq 0, \sum \limits _{k=1}^n a_k\leq \frac n2a_0$$

[RabbitXO]

Первое и второе неравенства мне очевидны. Из свойств положительно определенных после-ей получим, что $a_0\geqslant|a_k|,\ \forall k$ - первое неравенство. Второе получим подставив $\theta=0$ в многочлен. Третье не очевидно для меня.
$\sum\limits_{k=1}^n a_k\leqslant\sum\limits_{k=1}^n |a_k|\leqslant na_0$. Но оно выходит грубей.

[mihiv]

Третье неравенство можно доказать так:

$$\sum \limits _{k=1}^na_k=\sum \limits _{k=1}^n\left (\sum \limits _{p=0}^{n-k}x_{k+p}x_p\right )\leq \frac 12\sum \limits _{k=1}^n\left (\sum \limits _{p=0}^{n-k}(x_{k+p}^2+x^2_p)\right )=\frac n2 \sum \limits _{i=0}^n x_i^2=\frac n2a_0$$

Так как в последней двойной сумме каждое слагаемое $x_i^2, (i=0,\dots ,n)$ содержится $n$ раз.

[Vince Diesel]

Система однородная по $x$, можно ограничиться случаем $a_0=1$. Тогда нужное множество будет образом единичной сферы $S^{n+1}$ в $\mathbb R^n$ при отображении $x\to a=(a_1,\ldots,a_n)$. Если я правильно прикинул с помощью компьютера, для $n=2$ и $n=3$ это множества выпуклы. На плоскости, похоже, граница состоит из двух отрезков и части эллипса.

[RabbitXO]

mihiv, Спасибо.

Vince Diesel в сообщении #1073003 писал(а):

для $n=2$ и $n=3$ это множества выпуклы

А это уже интересно.