Когда можно совершать предельный переход?

[oniksofers]

Cynic в сообщении #1072683 писал(а):

почему переход к пределу в выражении $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}}$ дает не верный ответ?

Нас учили, что к неопределенностям также относятся вещи типа $1^{\infty},\infty^{0}$

[Otta]

Cynic в сообщении #1072683 писал(а):

Вопрос напоминаю звучит так: Когда можно и когда нельзя делать предельный переход? Можно упростить вопрос - почему переход к пределу в выражении $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}}$ дает не верный ответ?

Встречный вопрос, напоминаю, звучит так: на каком основании и пользуясь чем Вы делаете предельный переход. Первый процитированный Вами предел к делу отношения не имеет. А если имеет, Вы не показали как.

А вот формула Стирлинга тут очень даже при чем, и напрасно Вы игнорируете свои познания. Другое дело, что обычно при доказательстве равенства нулю этого предела ею не пользуются, ибо из пушек по воробьям. Вы и для более простых пределов выбирали минимальные средства.

[RIP]

Cynic в сообщении #1072683 писал(а):

почему переход к пределу в выражении $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}}$ дает не верный ответ?

Потому что $\infty^0$ — это не $1$. (Рассмотрите, например, $\lim\limits_{n\to\infty}\left(a^n\right)^{1/n}$.)

[Cynic]

RIP в сообщении #1072687 писал(а):

Cynic в сообщении #1072683 писал(а):

почему переход к пределу в выражении $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{n!}}}}$ дает не верный ответ?

Потому что $\infty^0$ — это не $1$. (Рассмотрите, например, $\lim\limits_{n\to\infty}\left(a^n\right)^{1/n}$.)

Ну то есть к списку неопределенностей можно смело добавить выражения типа ${\infty ^0}{,0^\infty }$.

[NSKuber]

Cynic
$0^{\infty}$ добавлять не нужно. Подумайте, почему, а то складывается впечатление, что ни один из обсуждаемых в теме пределов вы честно не нашли, всё догадки.

[Евгений Машеров]

Скажите, а с чего Вы решили, что $(\infty)^0=1$?

[Dmitry Tkachenko]

Cynic в сообщении #1072654 писал(а):

но не пишет про выражения вида ${\infty ^0}{,0^\infty }$.

$0^{\infty}$ всегда принимает конкретное значение и не является неопределенностью. Например, $\lim\limits_{n\to \infty}\big(\frac{1}{n}\big)^n=0.$

$\infty^{0}$ является неопределенностью, так как не принимает конкретного значения. Например, $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1,$ а $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n!}=\infty.$ Иногда от таких неопределенности можно избавиться сказав, что $\infty^{0}=e^{0\cdot \ln \infty},$ а потом логарифмировать полученное, воспользовавшись тем, что для непрерывных функций $f$ (в частности для $\ln$) справедливо равенство $\lim\limits_{A\to \dots} f(A)=f(\lim\limits_{A\to \dots} A),$ где под троеточием можно понимать как конечное так и бесконечное значение.

Для доказательства $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n!}=\infty$ можно воспользоваться формулой Стирлинга или неравенством $n!>\sqrt{2\pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}e^{\frac{1}{12n+1}}.$ Получим $\sqrt[n]{n!}>\sqrt[n]{\sqrt{2\pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}e^{\frac{1}{12n+1}}}=(\sqrt{2\pi})^{\frac{1}{n}} \cdot n^{1+\frac{1}{2n}} \cdot e^{-1} \cdot e^{\frac{1}{12n^2+n}} \to \infty, n\to \infty.$

[Cynic]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1072818 писал(а):

$0^{\infty}$ всегда принимает конкретное значение и не является неопределенностью. Например, $\lim\limits_{n\to \infty}\big(\frac{1}{n}\big)^n=0.$

А как кстати в общем виде доказывают утверждение, что выражения типа $0^{\infty}$ всегда принимают конкретное значение?

[Slow]

Cynic
Можно по теореме о двух милиционерах наверное.

[provincialka]

Dmitry Tkachenko в сообщении #1072818 писал(а):

$0^{\infty}$ всегда принимает конкретное значение и не является неопределенностью.

Маленькая занудная поправка. Это выражение, конечно, не является неопределенностью, но вот "всегда принимает" не совсем верно. Все-таки бесконечность в показателе может быть разного знака. Так что, например, $\lim\limits_{x\to 0}{|x|}^{1/x}$ не существует.

[TR63]

Slow в сообщении #1073004 писал(а):

Можно по теореме о двух милиционерах наверное.

Почему наверное. Очень даже можно. (Будет совсем элементарный уровень.)