Зависимость случайных величин.

[Tosha]

Подскажите, пожалуйста, по поводу двух задач:

1) Приведите пример двух таких зависимых случайных величин $\xi,\eta$, если известно, что $\text{cov}(\xi,\eta)=0$, при этом $\xi,\eta$ являются гауссовскими.

Используя формулу

$\mathrm{cov}(X,Y) = \mathbb{M} \left[ XY \right] - \mathbb{M}X \mathbb{M}Y$

Получаем, что $ \mathbb{M} \left[ XY \right] = \mathbb{M}X \mathbb{M}Y$

$f(x)=\frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu_1\right)^2}{2\sigma_1^2} \right)$

$f(y)=\frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi}}\; \exp\left(-\frac{\left(y-\mu_2\right)^2}{2\sigma_2^2} \right)$

$E\xi=\mu_1,E\eta=\mu_2$

Но как считать матожидание произведения случайных величин $E(\xi\eta)$?

2) Пусть $\xi,\eta$ -- случайные величины с ненулевыми дисперсиями. Найдутся ли такие ненулевые числа $a,b$, что случайная величины $a\xi+b\eta$ не зависит от $\xi$ и от $\eta$?

Мне кажется, что вопрос очень странный. Если $\xi=-\eta$, то подойдут любые $a=b$, то есть $\xi$ и $\eta$ должны быть обязательно линейно зависимы $\xi=k\eta+b$, верно?

[--mS--]

Tosha в сообщении #1071508 писал(а):

Если $\xi=-\eta$, то подойдут любые $a=b$, то есть $\xi$ и $\eta$ должны быть обязательно линейно зависимы $\xi=k\eta+b$, верно?

Вы рассуждаете так: "Если селёдка, то рыба. Т.е. эта рыба карп должна обязательно быть селёдкой."

[iancaple]

Tosha в сообщении #1071508 писал(а):

1) Приведите пример двух таких зависимых случайных величин $\xi,\eta$, если известно, что $\text{cov}(\xi,\eta)=0$, при этом $\xi,\eta$ являются гауссовскими.

Вот такой пример. $EX =0,\;DX =1$.
$Y=\begin{cases} X,&\text{если $|X|>t$;}\\ -X,&\text{если $|X|\le t$.} \end{cases}$
А $t$ подобрать из условия $\operatorname{cov}(X,Y)=0$ А проще можно?

[ewert]

Tosha в сообщении #1071508 писал(а):

то есть $\xi$ и $\eta$ должны быть обязательно линейно зависимы $\xi=k\eta+b$, верно?

Откуда следует "то есть"?

[AlexDem]

(Оффтоп)

Tosha в сообщении #1071508 писал(а):

$\xi$ и $\eta$ должны быть обязательно линейно зависимы $\xi=k\eta+b$, верно?

Почему должны быть?

[Tosha]

Спасибо, да, я напутал про селедку.

Лучше так сформулировать, чтобы случайная величина $a\xi+b\eta$ не зависела от $\xi$ и от $\eta$, нужно, чтобы $a\xi+b\eta$ была константой, обозначим ее $c$. Тогда $a\xi+b\eta=c$, то есть линейно зависимыми быть должны. Правильно так?

$\xi=-\frac{\c-b\eta}{a}$

[ewert]

Tosha в сообщении #1071588 писал(а):

нужно, чтобы $a\xi+b\eta$ была константой

откуда это следует?

[Tosha]

Потому как, если не зависит, то не является функцией от этих величин, потому я обозначил с. А как иначе?

[ewert]

Tosha в сообщении #1071603 писал(а):

Потому как, если не зависит, то не является функцией от этих величин,

Зависимость случайных величин вовсе не означает функциональную зависимость.

[Tosha]

Хорошо, спасибо, но чем здесь нужно тогда воспользоваться?

[ewert]

Tosha в сообщении #1071656 писал(а):

чем здесь нужно тогда воспользоваться?

Прежде всего, потребуйте, чтобы случайные величины были хотя бы нескоррелированы (бог с ней пока, с независимостью), и приглядитесь к получающейся при этом системе уравнений на коэффициенты. Потом вспомните, о чём идёт речь в Вашей параллельной ветке про "конечные дисперсии".

[Tosha]

ewert в сообщении #1071658 писал(а):

Tosha в сообщении #1071656 писал(а):

чем здесь нужно тогда воспользоваться?

Прежде всего, потребуйте, чтобы случайные величины были хотя бы нескоррелированы (бог с ней пока, с независимостью), и приглядитесь к получающейся при этом системе уравнений на коэффициенты. Потом вспомните, о чём идёт речь в Вашей параллельной ветке про "конечные дисперсии".

Пока что не ясно -- как может получится система уравнений. Я вот и писал,что ковариация равна нулю. Но вот не ясно -- как считать матожидания произведения случайных величин, в этом самый большой вопрос.

[provincialka]

Tosha в сообщении #1071661 писал(а):

как считать матожидания произведения случайных величин,

Его легче считать, если величины независимы, знаете ли.

[Tosha]

provincialka в сообщении #1071664 писал(а):

Tosha в сообщении #1071661 писал(а):

как считать матожидания произведения случайных величин,

Его легче считать, если величины независимы, знаете ли.

Ой, точно, это да. Можно считать как произведения матожиданий. Но как же величины подобрать зависимыми?

[provincialka]

Удалено. Ответ не на ту задачу