2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 прямой предел , (алгебра)
Сообщение16.03.2008, 00:10 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Заранее 1000 раз извиняюсь за глупый вопрос,
читала литературу на эту тему, но не помогает... :(

Зачем нужен прямой предел семейства множеств
и чем он лучше обыкновенного объединения...:?

Если можно в двух словах...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2008, 00:33 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Пусть $\langle I, \leqslant \rangle$ --- направленное множество (то есть такое частично упорядоченное множество, в котором любое конечное подмножество имеет верхнюю грань). Пусть

$$\{ S_i  : i \in I \}$$

есть семейство множеств, индексированное посредством $I$, а

$$\{ f_{i,j} : i,j \in I,\, i \leqslant j \}$$

семество функций, такие что

1) при $i \leqslant j$ $f_{i,j}$ является функцией из $S_i$ в $S_j$;
2) для $i \leqslant j \leqslant k$ справедливо $f_{i,k} = f_{j,k} \circ f_{i,j}$;
3) $f_{i,i}$ есть тождественное отображение для любого $i \in I$.

Тогда на множестве $S = \bigsqcup_{i \in I} S_i$ задано отношение эквивалентности

$$
x \sim y \Leftrightarrow (\exists i,j,k \in I)(x \in S_i \mathbin{\&} y \in S_j \mathbin{\&} f_{i,k}(x) = f_{j,k}(y))
$$

Фактор-множество $S/ \sim$ называется прямым пределом.

Вы такой прямой предел имели в виду или какой-то другой? Мне встречался только такой. Правда для него обычно $S_i$ --- не просто множества, а какие-то алгебраические системы. В этом случае если отображения --- гомоморфизмы, то определённая выше эквивалентность будет конгруэнтностью, а прямой предел --- алгебраической системой. Такие конструкции мне попадались: к примеру, полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда она является прямым пределом конечных дистрибутивных решёток (рассматриваемых как полурешётки). Этот факт даёт удобный инструмент для построения дистрибутивных полурешёток с заданными свойствами.

Ну и в других классах алгебраических систем подобные конструкции бывают и наверняка дают интересные примеры структур с нужными свойствами. А зачем может понадобиться прямой предел просто множеств, без заданной на них структуры, мне тоже непонятно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2008, 06:45 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
Профессор Снэйп писал(а):
Тогда на множестве $S = \bigsqcup_{i \in I} S_i$ задано отношение эквивалентности

$$
x \sim y \Leftrightarrow (\exists i,j,k \in I)(x \in S_i \mathbin{\&} y \in S_j \mathbin{\&} f_{i,k}(x) = f_{j,k}(y))
$$

Фактор-множество $S/ \sim$ называется прямым пределом.


Да, я имела в виду именно этот прямой предел. причём в моём случае он определяется как $H^{1}(G, PGL_{\infty}(K))= \bigsqcup_{n} H^{1}(G, PGL_{n}(K)) / \sim $,

где $H^{1}(G, PGL_{n}(K))$ правда, группы, но мы об этом пока не знаем. И мы тратим свои силы на то, чтобы доказать существование этих отображений $f_{i,j}$, что множество индексов направленное, и далее по тексту... в-общем,проверяем это определение в данном конкретном случае, а потом выясняется, что определение эквивалентности $n \sim m \Leftrightarrow n=m$ и наш прямой предел- простое дизъюнктное объединение...

Добавлено спустя 13 минут 56 секунд:

Моим предположением было, что имея заданное отображение $ \delta_{n} \colon H^{1} (G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$, почему-то нехорошо рассматривать $\delta_{\infty} \colon \bigsqcup_{n} H^{1} (G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$,
а $ \delta_{\infty} \colon  \varinjlim_n H^{1}(G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$ почему-то лучше.

Добавлено спустя 10 минут 26 секунд:

Мне кажется, это отображение $ \delta_{\infty} $ можно и на дизъюнктном объединении определить. Но наверное, нельзя.
Или здесь проблема в том, что это объединение бесконечно? $ n \in \mathbb{N}$

А что такое конгруэнтность?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2008, 08:43 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Таня Тайс писал(а):
А что такое конгруэнтность?


Конгруэнтость --- это такое отношение эквивалентности на носителе модели, по которому можно факторизовать и снова получать модель той же сигнатуры.

Например, если $G$ --- группа, то эквивалентность $\sim$ на $G$ является конгруэнтностью тогда и только тогда, когда существует нормальная подгруппа $H$, такая что

$$
x \sim y \Leftrightarrow xy^{-1} \in H
$$

Если $R$ --- кольцо, то отношение эквивалентности $\sim$ является конгруентностью на $R$ если и только если существует идеал $I$, такой что

$$
x \sim y \Leftrightarrow x-y \in I
$$

Общее определение таково. Пусть $\mathfrac{M} = \langle M, int \rangle$ есть модель сигнатуры $\langle \langle P, F, C \rangle, \mu \rangle$ (см. здесь). Тогда отношение эквивалентности $\sim$ на $M$ называется конгруэнтностью если

1) Для любого $f \in F$ местности $\mu(f) = n$ и для любых $x_1 \sim y_1, \ldots, x_n \sim y_n$ выполнено $int(f)(x_1, \ldots, x_n) \sim int(f)(y_1, \ldots, y_n)$;

2) Для любого $p \in P$ местности $\mu(p) = n$ и для любых $x_1 \sim y_1, \ldots, x_n \sim y_n$ из $\langle x_1, \ldots, x_n \rangle \in int(p)$ следует $\langle y_1, \ldots, y_n \rangle \in int(p)$.

Конгруэнтность не всегда тривиальна, так что прямой предел семества моделей не всегда сводится к их дизъюнктному объединению. Простейший пример --- семейство групп $\{ G_i \}_{i \in I}$, такое что все $G_i$ --- одна и та же группа $G$, а все $f_{i,j}$ --- тождественный автоморфизм этой группы. В этом случае, как и следует ожидать, прямой предел изоморфен группе $G$, хотя дизъюнктное объединение может иметь мощность, намного превосходящую мощность $G$ (если множество $I$ очень большое).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.03.2008, 20:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Таня Тайс, В определнии групп когомологий $H^i(G,A)$ группа $A$ должна быть абелевой (точнее, $A$ --- $G$-модуль). Группа $PGL_{n}(K)$ не абелева, так что в том, что вы пишите что-то не так. Возможно, вы используете какие-нибудь нестандартные или сокращенные обозначения. Скажите, какую унижку вы читаете? Знаете ли вы, что такое B-резольвента?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.03.2008, 00:44 
Аватара пользователя


19/03/07
597
Bielefeld
lofar писал(а):
В определнии групп когомологий $H^i(G,A)$ группа $A$ должна быть абелевой (точнее, $A$ --- $G$-модуль). Группа $PGL_{n}(K)$ не абелева

Точно! Группа $A$ должна быть абелевой ! А группа $PGL_{n}(K)$ это не группа $A$, это группа $C$.
$$H^{1}(G,\underbrace {GL_{n}(K)}_\text{B}) \rightarrow H^{1}(G,\underbrace {PGL_{n}(K)}_\text{C}) \stackrel{\delta_{n}}{\longrightarrow}H^{2}(G, \underbrace {K^{*}}_\text{A}) $$

Добавлено спустя 3 минуты 56 секунд:

lofar писал(а):
Скажите, какую унижку вы читаете?

название - Central simple algebras and Galois cohomology
автор - Philippe Gille and Tamas Szamuely

унижка это сокр. "умная книжка" ? :)

Добавлено спустя 3 минуты 22 секунды:

lofar писал(а):
Группа $PGL_{n}(K)$ не абелева


Если $[K:k]=n$, то $H^{1} (G, PGL_{n} (K))$ абелева группа.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.03.2008, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
287
Таня Тайс писал(а):
Моим предположением было, что имея заданное отображение $ \delta_{n} \colon H^{1} (G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$, почему-то нехорошо рассматривать $\delta_{\infty} \colon \bigsqcup_{n} H^{1} (G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$,
а $ \delta_{\infty} \colon  \varinjlim_n H^{1}(G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$ почему-то лучше.

Оперделить $\delta_\infty$ на дизъюнктном объединении конечно же можно. Проблема в другом, дизъюнктное объединение групп не является группой, это просто множество, в то вреся, как предел групп всегда является группой. Для дизъюнктного объединения $\delta_\infty$ --- отображение множеств, а для предела $\delta_\infty$ --- гомоморфизм.

P. S. "унижка" --- от слова "унижение" (читаешь и понимаешь, что ты занимаешься не своим делом :-) Если серьезно, книга действительна хорошая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group