прямой предел , (алгебра)

[Таня Тайс]

Заранее 1000 раз извиняюсь за глупый вопрос,
читала литературу на эту тему, но не помогает...

Зачем нужен прямой предел семейства множеств
и чем он лучше обыкновенного объединения...

Если можно в двух словах...

[Профессор Снэйп]

Пусть $\langle I, \leqslant \rangle$ --- направленное множество (то есть такое частично упорядоченное множество, в котором любое конечное подмножество имеет верхнюю грань). Пусть

$$\{ S_i : i \in I \}$$

есть семейство множеств, индексированное посредством $I$, а

$$\{ f_{i,j} : i,j \in I,\, i \leqslant j \}$$

семество функций, такие что

1) при $i \leqslant j$ $f_{i,j}$ является функцией из $S_i$ в $S_j$;
2) для $i \leqslant j \leqslant k$ справедливо $f_{i,k} = f_{j,k} \circ f_{i,j}$;
3) $f_{i,i}$ есть тождественное отображение для любого $i \in I$.

Тогда на множестве $S = \bigsqcup_{i \in I} S_i$ задано отношение эквивалентности

$$ x \sim y \Leftrightarrow (\exists i,j,k \in I)(x \in S_i \mathbin{\&} y \in S_j \mathbin{\&} f_{i,k}(x) = f_{j,k}(y)) $$

Фактор-множество $S/ \sim$ называется прямым пределом.

Вы такой прямой предел имели в виду или какой-то другой? Мне встречался только такой. Правда для него обычно $S_i$ --- не просто множества, а какие-то алгебраические системы. В этом случае если отображения --- гомоморфизмы, то определённая выше эквивалентность будет конгруэнтностью, а прямой предел --- алгебраической системой. Такие конструкции мне попадались: к примеру, полурешётка дистрибутивна тогда и только тогда, когда она является прямым пределом конечных дистрибутивных решёток (рассматриваемых как полурешётки). Этот факт даёт удобный инструмент для построения дистрибутивных полурешёток с заданными свойствами.

Ну и в других классах алгебраических систем подобные конструкции бывают и наверняка дают интересные примеры структур с нужными свойствами. А зачем может понадобиться прямой предел просто множеств, без заданной на них структуры, мне тоже непонятно.

[Таня Тайс]

Профессор Снэйп писал(а):

Тогда на множестве $S = \bigsqcup_{i \in I} S_i$ задано отношение эквивалентности

$$ x \sim y \Leftrightarrow (\exists i,j,k \in I)(x \in S_i \mathbin{\&} y \in S_j \mathbin{\&} f_{i,k}(x) = f_{j,k}(y)) $$

Фактор-множество $S/ \sim$ называется прямым пределом.

Да, я имела в виду именно этот прямой предел. причём в моём случае он определяется как $H^{1}(G, PGL_{\infty}(K))= \bigsqcup_{n} H^{1}(G, PGL_{n}(K)) / \sim $,

где $H^{1}(G, PGL_{n}(K))$ правда, группы, но мы об этом пока не знаем. И мы тратим свои силы на то, чтобы доказать существование этих отображений $f_{i,j}$, что множество индексов направленное, и далее по тексту... в-общем,проверяем это определение в данном конкретном случае, а потом выясняется, что определение эквивалентности $n \sim m \Leftrightarrow n=m$ и наш прямой предел- простое дизъюнктное объединение...

Добавлено спустя 13 минут 56 секунд:

Моим предположением было, что имея заданное отображение $ \delta_{n} \colon H^{1} (G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$, почему-то нехорошо рассматривать $\delta_{\infty} \colon \bigsqcup_{n} H^{1} (G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$,
а $ \delta_{\infty} \colon \varinjlim_n H^{1}(G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$ почему-то лучше.

Добавлено спустя 10 минут 26 секунд:

Мне кажется, это отображение $ \delta_{\infty} $ можно и на дизъюнктном объединении определить. Но наверное, нельзя.
Или здесь проблема в том, что это объединение бесконечно? $ n \in \mathbb{N}$

А что такое конгруэнтность?

[Профессор Снэйп]

Таня Тайс писал(а):

А что такое конгруэнтность?

Конгруэнтость --- это такое отношение эквивалентности на носителе модели, по которому можно факторизовать и снова получать модель той же сигнатуры.

Например, если $G$ --- группа, то эквивалентность $\sim$ на $G$ является конгруэнтностью тогда и только тогда, когда существует нормальная подгруппа $H$, такая что

$$ x \sim y \Leftrightarrow xy^{-1} \in H $$

Если $R$ --- кольцо, то отношение эквивалентности $\sim$ является конгруентностью на $R$ если и только если существует идеал $I$, такой что

$$ x \sim y \Leftrightarrow x-y \in I $$

Общее определение таково. Пусть $\mathfrac{M} = \langle M, int \rangle$ есть модель сигнатуры $\langle \langle P, F, C \rangle, \mu \rangle$ (см. здесь). Тогда отношение эквивалентности $\sim$ на $M$ называется конгруэнтностью если

1) Для любого $f \in F$ местности $\mu(f) = n$ и для любых $x_1 \sim y_1, \ldots, x_n \sim y_n$ выполнено $int(f)(x_1, \ldots, x_n) \sim int(f)(y_1, \ldots, y_n)$;

2) Для любого $p \in P$ местности $\mu(p) = n$ и для любых $x_1 \sim y_1, \ldots, x_n \sim y_n$ из $\langle x_1, \ldots, x_n \rangle \in int(p)$ следует $\langle y_1, \ldots, y_n \rangle \in int(p)$.

Конгруэнтность не всегда тривиальна, так что прямой предел семества моделей не всегда сводится к их дизъюнктному объединению. Простейший пример --- семейство групп $\{ G_i \}_{i \in I}$, такое что все $G_i$ --- одна и та же группа $G$, а все $f_{i,j}$ --- тождественный автоморфизм этой группы. В этом случае, как и следует ожидать, прямой предел изоморфен группе $G$, хотя дизъюнктное объединение может иметь мощность, намного превосходящую мощность $G$ (если множество $I$ очень большое).

[lofar]

Таня Тайс, В определнии групп когомологий $H^i(G,A)$ группа $A$ должна быть абелевой (точнее, $A$ --- $G$-модуль). Группа $PGL_{n}(K)$ не абелева, так что в том, что вы пишите что-то не так. Возможно, вы используете какие-нибудь нестандартные или сокращенные обозначения. Скажите, какую унижку вы читаете? Знаете ли вы, что такое B-резольвента?

[Таня Тайс]

lofar писал(а):

В определнии групп когомологий $H^i(G,A)$ группа $A$ должна быть абелевой (точнее, $A$ --- $G$-модуль). Группа $PGL_{n}(K)$ не абелева

Точно! Группа $A$ должна быть абелевой ! А группа $PGL_{n}(K)$ это не группа $A$, это группа $C$.

$$H^{1}(G,\underbrace {GL_{n}(K)}_\text{B}) \rightarrow H^{1}(G,\underbrace {PGL_{n}(K)}_\text{C}) \stackrel{\delta_{n}}{\longrightarrow}H^{2}(G, \underbrace {K^{*}}_\text{A}) $$

Добавлено спустя 3 минуты 56 секунд:

lofar писал(а):

Скажите, какую унижку вы читаете?

название - Central simple algebras and Galois cohomology
автор - Philippe Gille and Tamas Szamuely

унижка это сокр. "умная книжка" ?

Добавлено спустя 3 минуты 22 секунды:

lofar писал(а):

Группа $PGL_{n}(K)$ не абелева

Если $[K:k]=n$, то $H^{1} (G, PGL_{n} (K))$ абелева группа.

[lofar]

Таня Тайс писал(а):

Моим предположением было, что имея заданное отображение $ \delta_{n} \colon H^{1} (G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$, почему-то нехорошо рассматривать $\delta_{\infty} \colon \bigsqcup_{n} H^{1} (G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$,
а $ \delta_{\infty} \colon \varinjlim_n H^{1}(G, PGL_{n}(K)) \to H^{2} (G,K^{*})$ почему-то лучше.

Оперделить $\delta_\infty$ на дизъюнктном объединении конечно же можно. Проблема в другом, дизъюнктное объединение групп не является группой, это просто множество, в то вреся, как предел групп всегда является группой. Для дизъюнктного объединения $\delta_\infty$ --- отображение множеств, а для предела $\delta_\infty$ --- гомоморфизм.

P. S. "унижка" --- от слова "унижение" (читаешь и понимаешь, что ты занимаешься не своим делом :-) Если серьезно, книга действительна хорошая.