Электрическое сопротивление неоднородного тела

[vasya321]

druggist в сообщении #1070914 писал(а):

Для полного счастья можно посчитать другой предельный случай: $L/H \rightarrow 0$. Подозреваю, что действовать можно примерно в том же духе, только слои надо будет нарезать не параллельно, а перпендикулярно электродам

То есть $dG = \frac{1}{k} \frac{\lambda_1 (1 - y) \lambda_2 y}{\lambda_1 (1 - y) + \lambda_2 y} d y$, значит $G = \int \limits_0^1 dG$. Математика выдаёт ($\lambda_1>\lambda_2$):

$$ G = \frac{\lambda_1 \lambda_2 \left(\lambda_1^2 - \lambda_2^2 + 2 \lambda_1 \lambda_2 \ln \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right) }{k \cdot 2 (\lambda_1 - \lambda_2)^3} \rightarrow R = \frac{1}{G} $$

Но что-то не сходится с численным расчетом.

Как получить формулу для промежуточного случая?

[Andrey_Kireew]

vasya321 в сообщении #1070926 писал(а):

$$ G = \frac{\lambda_1 \lambda_2 \left(\lambda_1^2 - \lambda_2^2 + 2 \lambda_1 \lambda_2 \ln \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right) }{k \cdot 2 (\lambda_1 - \lambda_2)^3} \rightarrow R = \frac{1}{G} $$

Но что-то не сходится с численным расчетом.

у вас ошибка, здесь электропроводности нужно дельть на координаты, а не умножать, у меня получилось
$k\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}ln(\frac{\lambda_1}{ \lambda_2})$
кстати, заметил, что формулу druggist можно упростить
$k \frac{ln(\frac{\lambda_1}{\lambda_2})}{\lambda_1-\lambda_2}$
так что они отличаются на множитель $\lambda_1\lambda_2$

[Andrey_Kireew]

напрашивается обобщённая формула
$k\frac{(\lambda_1 \lambda_2)^{\frac{h}{(h+l)}}}{\lambda_1-\lambda_2}ln(\frac{\lambda_1}{ \lambda_2})$,
где h - ширина электродов, l- межэлектродное расстояние
кстати при $h=l$ как раз и появляется $\sqrt{\lambda_1\cdot\lambda_2}$
-

[Andrey_Kireew]

кстати я тоже ошибся, так как считал проводимость а не сопротивление. Павильная формула такая:
$R=k\frac{(\lambda_1- \lambda_2)}{\lambda_1\cdot\lambda_2}ln^{-1}(\frac{\lambda_1}{ \lambda_2})$
вывод и обобщённая формула в предыдущем посте теже разкмеется неверны

получается что $R=\frac{k}{\sqrt{\lambda_1\cdot\lambda_2}}$ - это всего лишь среднее геомотрическое двух предельных случаев, а поиск обобщённого уравнения остаётся актуальным

[Skeptic]

Andrey_Kireew
В сообщении #1070774:
- зелёный график на проходит через точку $\sqrt9=3$,
- на красном графике неправильное значение при $\lambda_1=1$, у меня получается 0.

[Andrey_Kireew]

Skeptic в сообщении #1071061 писал(а):

Andrey_Kireew
В сообщении #1070774:
- зелёный график на проходит через точку $\sqrt9=3$,
- на красном графике неправильное значение при $\lambda_1=1$, у меня получается 0.

зелёный график нормирован по красному в точке 5 (в середине, где они совпадают), это сделано для наглядности
на красном графике наверно вы сами что то напутали, в этой точке неопределённость 0/0, значение в ней можно найти по правилу Лопиталя

[druggist]

Andrey_Kireew в сообщении #1070943 писал(а):

$R=\frac{k}{\sqrt{\lambda_1\cdot\lambda_2}}$ - это всего лишь среднее геомотрическое двух предельных случаев

Действительно, ср.геометрическое. Интересный факт, то есть, это выражение $R=\frac{k}{\sqrt{\lambda_1\cdot\lambda_2}}$ не просто подгоночная кривая...

[Skeptic]

druggist в сообщении #1070725 писал(а):

Для случая достаточно длинного проводника(длина много больше характерного размера поперечного сечения) скорее всего можно положить, что потенциал слабо меняется по поперечному сечению. В этом приближении для проводимости бесконечно тонкого элементика длины для сечения в точке $x$ будем иметь

$$\lambda_1(1-x)+\lambda_2 x$$

,(имеется в виду безразмерная, нормированная на длину координата $x$ )
а для сопротивления (в данном случае это последовательное соединение элементиков - сумма их сопротивлений или обратных проводимостей) :

При изменении $x$ сопротивление элементика изменяется по закону $r=\frac{1-x}{\lambda_1}+\frac{x}{\lambda_2} $
Общая проводимость тела равна $\Lambda=k\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\frac{1-x}{\lambda_1}+\frac{x}{\lambda_2}}dx$

$$\Lambda=k\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}\ln\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$$

[Andrey_Kireew]

Skeptic в сообщении #1071255 писал(а):

$$\Lambda=k\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}\ln\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$$

это формула для бесконечно короткого проводника
у druggist же рассматривается случай бесконечно длинного, там сначала находятся проводимости горизонтальных срезов, а потом они интегрируются по вертикали, так что у него всё правильно

для бесконечно короткого проводника наоборот, находятся сопротивления вертикальных срезов, а потом они интегрируются по горизонтали, тогда то и получается формула, которую вы приводите (кстати не впервые см. #p1070943)

-- 08.11.2015, 15:49 --

для интереса при вожу графики всех трёх зависимостей в логарифмическом масштабе

из графиков видно почему среднегеометрическое в этом случае вполне адекватно

[Skeptic]

Andrey_Kireew в сообщении #1071317 писал(а):

Skeptic в сообщении #1071255 писал(а):

$$\Lambda=k\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1-\lambda_2}\ln\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$$

это формула для бесконечно короткого проводника
у druggist же рассматривается случай бесконечно длинного, там сначала находятся проводимости горизонтальных срезов, а потом они интегрируются по вертикали, так что у него всё правильно

для бесконечно короткого проводника наоборот, находятся сопротивления вертикальных срезов, а потом они интегрируются по горизонтали, тогда то и получается формула, которую вы приводите (кстати не впервые см. #p1070943)

Andrey_Kireew, вы не поняли моего сообщения. Я только исправил ошибку в интеграле.
Определять изменение проводимости проводника при изменении его длины как $\lambda_2 x$ ошибочно, т.к. в этом случае при уменьшении длины проводника $x$ его сопротивление возрастает. Правильно будет $\frac{x}{\lambda_2}$.

[Andrey_Kireew]

Skeptic в сообщении #1071325 писал(а):

Andrey_Kireew, вы не поняли моего сообщения. Я только исправил ошибку в интеграле.
Определять изменение проводимости проводника при изменении его длины как $\lambda_2 x$ ошибочно, т.к. в этом случае при уменьшении длины проводника $x$ его сопротивление возрастает. Правильно будет $\frac{x}{\lambda_2}$.

в данном случае умножение производится на сечение проводника а не на длинну, просто из геометрии задачи оно $ s_1\sim~x$, а для другой части проводника $s_2\sim~(1-x)$, где $x\in[0;1]$ - расстояние от первого электрода
элементарные проводники бесконечно короткие и параллельны электродам, длинна их dx не изменяется
так что ошибки никакой нет
если сделать так как вы предлагаете, то будет получен не тот результат
но ваши рассуждения справедливы для бесконечно короткого проводника, там сначала вычисляются сопротивления бесконечно тонких полос, и они действительно находятся как $\rho=\frac{x}{\lambda_1}$ и $\rho=\frac{1-x}{\lambda_2}$

[Skeptic]

Andrey_Kireew
Формула расчёта сопротивления проводника: $r=\rho\frac l s$. На длину $l$ умножают, а на площадь сечения $s$ делят.

[Andrey_Kireew]

Спасибо за ценное замечание, раньше мы об этом даже и не подозревали

[Skeptic]

Формулу сопротивления $r=\rho\frac{l}{s}$ можно трактовать как произведение двух независимых величин $r=\rho k$, где $\rho$ - удельное сопротивление материала, $k$ - интегральная оценка формы сопротивления по направлению тока.

Исходное сопротивления составлено из двух сопротивлений, соединённых последовательно. Общее сопротивление $R=\rho_1 k_1 + \rho_2 k_2$. Из условия задачи следует $k_1= k_2$. Следовательно, $R=k(\rho_1 + \rho_2)$, или

$$R=k\frac{\lambda_1+\lambda_2}{\lambda_1\cdot \lambda_2}$$

[druggist]

Skeptic в сообщении #1071934 писал(а):

$k$ - интегральная оценка формы сопротивления по направлению тока.

Skeptic,
Вы делаете некие спорадические заявления с неясным смыслом, лучше ткните пальчиком, где конкретно угнездилась ошибка, с какой формулой несогласны и т.п.