Правильный стандартный n-симплекс

[druggist]

В литературе есть выражение для $n$-мерного объема самого симплекса (обобщение формулы Герона для площади треугольника) А каков $n+1$-мерный объем, отсекаемый стандартным симплексом от единичного $n+1$-мерного гиперкуба (вроде бы, эта фигура называется вершинной фигурой - vertex figure), точнее доля от его объема? Для $n=1$ это, очевидно, 1/2, а уже для $n=2$ (обычный трехмерный куб) что-то не могу сообразить. Как выглядит общее выражение?

[Brukvalub]

druggist в сообщении #1071041 писал(а):

А каков $n+1$-мерный объем, отсекаемый стандартным симплексом от единичного $n+1$-мерного гиперкуба (вроде бы, эта фигура называется вершинной фигурой - vertex figure), точнее доля от его объема?

Разве такой симплекс не лежит целиком в гиперкубе?

[Munin]

А что такое "стандартный симплекс"? Например, в 2-мерный куб (квадрат) нельзя вписать правильный треугольник как вершинную фигуру. Так что неясно, что такое эта $1/2.$

[мат-ламер]

druggist
А рисуночек нельзя? А то, как мне кажется, $n$-мерный симплекс отрезает от куба $(n+1)$-мерный симплекс.

[druggist]

Я дам ссылку на ангояз. вики, где есть рисунок и ответ на мой вопрос https://en.wikipedia.org/wiki/Simplex :

Цитата:

The volume under a standard n-simplex (i.e. between the origin and the simplex in Rn+1) is

Как я понял, стандартный симплекс это гиперплоскость внутри гиперкуба, делящая его на две неравные части. Меня интересует "нижняя" часть с вершиной в начале координат.

Для 1-симплекса этот объем - 1/2 - половина площади квадрата, для 2-симплекса - судя по формуле - 1/6 от объема единичного трехмерного куба. Но вопрос, как получена эта формула?

[Munin]

А, речь про объём, отрезаемый $n$-мерным симплексом с вершинами $(0,...0,1_i,0,...0)$ от $(n+1)$-мерного куба?

Делается это очень просто: $(n+1)$-кратным интегрированием. Когда устанете, очень быстро найдёте и общую формулу.

[druggist]

Интересный момент, если мы возьмем правильный нестандартный симплекс (то есть, $n+1$ - гиперкуб не с единичным ребром, а равным $a$, то как n+1-мерный объем отсекаемый симплексом, так и n-мерный объем самого симплекса будут иметь пуассоновский максимум при размерности $n\approx a$