2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Правильный стандартный n-симплекс
Сообщение07.11.2015, 15:48 


27/02/09
2374
В литературе есть выражение для $n$-мерного объема самого симплекса (обобщение формулы Герона для площади треугольника) А каков $n+1$-мерный объем, отсекаемый стандартным симплексом от единичного $n+1$-мерного гиперкуба (вроде бы, эта фигура называется вершинной фигурой - vertex figure), точнее доля от его объема? Для $n=1$ это, очевидно, 1/2, а уже для $n=2$ (обычный трехмерный куб) что-то не могу сообразить. Как выглядит общее выражение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильный стандартный n-симплекс
Сообщение07.11.2015, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13373
Москва
druggist в сообщении #1071041 писал(а):
А каков $n+1$-мерный объем, отсекаемый стандартным симплексом от единичного $n+1$-мерного гиперкуба (вроде бы, эта фигура называется вершинной фигурой - vertex figure), точнее доля от его объема?

Разве такой симплекс не лежит целиком в гиперкубе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильный стандартный n-симплекс
Сообщение07.11.2015, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72359
А что такое "стандартный симплекс"? Например, в 2-мерный куб (квадрат) нельзя вписать правильный треугольник как вершинную фигуру. Так что неясно, что такое эта $1/2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильный стандартный n-симплекс
Сообщение07.11.2015, 19:02 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
druggist
А рисуночек нельзя? А то, как мне кажется, $n$-мерный симплекс отрезает от куба $(n+1)$-мерный симплекс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильный стандартный n-симплекс
Сообщение07.11.2015, 19:34 


27/02/09
2374
Я дам ссылку на ангояз. вики, где есть рисунок и ответ на мой вопрос https://en.wikipedia.org/wiki/Simplex :

Цитата:
The volume under a standard n-simplex (i.e. between the origin and the simplex in Rn+1) is
Изображение


Как я понял, стандартный симплекс это гиперплоскость внутри гиперкуба, делящая его на две неравные части. Меня интересует "нижняя" часть с вершиной в начале координат.

Для 1-симплекса этот объем - 1/2 - половина площади квадрата, для 2-симплекса - судя по формуле - 1/6 от объема единичного трехмерного куба. Но вопрос, как получена эта формула?

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильный стандартный n-симплекс
Сообщение07.11.2015, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72359
А, речь про объём, отрезаемый $n$-мерным симплексом с вершинами $(0,...0,1_i,0,...0)$ от $(n+1)$-мерного куба?

Делается это очень просто: $(n+1)$-кратным интегрированием. Когда устанете, очень быстро найдёте и общую формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Правильный стандартный n-симплекс
Сообщение08.11.2015, 10:54 


27/02/09
2374
Интересный момент, если мы возьмем правильный нестандартный симплекс (то есть, $n+1$ - гиперкуб не с единичным ребром, а равным $a$, то как n+1-мерный объем отсекаемый симплексом, так и n-мерный объем самого симплекса будут иметь пуассоновский максимум при размерности $n\approx a$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group