Направленности в неравенствах

[Grabovskiy]

Вопрос возник из теоремы Банаха-Алаоглу (не сепарабельный случай), слабая компактность единичного шара $B[0,1]$ в сопряженном пространстве $X'$. Итак, достаточно показать замкнутость. Пусть $w$ есть предельная точка шара $B[0,1]$. Тогда существует направленность $(w_\alpha)_{\alpha \in A}$ такая, что $w_\alpha \rightarrow w$. Поскольку направленность из шара, то выполняется неравенство: $\| w_\alpha \| \leq 1$. А теперь сам вопрос: можно ли в этом неравенстве перейти к пределу по $\alpha$? Если да, то как показать, что можно такое делать? Верно ли также, что в слабой топологии сопряженного пространства не выполнена первая аксиома счетности?

[Brukvalub]

1. Норма - это непрерывная функция на банаховом пространстве?
2. Вам знакома теорема о предельном переходе в неравенствах для направленностей?

[Grabovskiy]

Brukvalub
1. Да
2. Нет

[Brukvalub]

Значит, есть шанс узнать новое.

[Grabovskiy]

Brukvalub
Подскажите, пожалуйста, в каком учебнике можно посмотреть такую теорему? Я знаю только про учебник Келли, но там этого нет.

[Brukvalub]

Здесь написаны основы теории пределов по направленностям. Остальное можно доказать самому, если освоить азы.