Задача по алгебре из 10го класса

[3D Homer]

Ну и что? Нам нужно найти доказательство, а не перебирать все подходы, большинство из которых не приводят к доказательству.

[valkat]

3D Homer в сообщении #1070646 писал(а):

Ну и что? Нам нужно найти доказательство, а не перебирать все подходы, большинство из которых не приводят к доказательству.

Когда написал, уже понял идею доказательства, поэтому исправил то свое сообщение, чтобы больше никого не беспокоить.
Успехов Вам.

[Otta]

valkat в сообщении #1070505 писал(а):

Докажите, что при любом значении $\gamma \not = -1$ дискриминант уравнения $(x - a)(x - c) + \gamma(x - b)(x - d) = 0$
где $a < b < c < d$, положителен

На самом деле, достаточно заметить, что при таком $\gamma $ уравнение квадратное, и значит, для наших целей достаточно указать пару точек, в которых левая часть будет иметь разный знак. Очевидно, что в качестве этой пары подойдет $x=b$ (левая часть отрицательна) и $x=d$ (левая часть положительна). Значит, у уравнения есть хотя бы один корень, ну и все, собственно.

[valkat]

Otta
Ещё раз скажу, что очень Вам благодарен, особенно за первый Ваш вопрос, который помог взглянуть на многое по-новому, и не только на решения уравнений.

[bot]

Otta в сообщении #1070655 писал(а):

Значит, у уравнения есть хотя бы один корень, ну и все, собственно.

Ну как бы не совсем. Там ведь требовалось, чтоб был герой дискриминант положительным.
Там ещё чуть-чуть, прошу извинить, если уже было. $\gamma < 0$ отмёл ТС, $\gamma = 0$ очевиден, остаётся $\gamma > 0$.

-- Пт ноя 06, 2015 17:50:50 --

Но он тоже очевиден.

[Mikhail_K]

bot в сообщении #1070723 писал(а):

Ну как бы не совсем. Там ведь требовалось, чтоб был герой дискриминант положительным.

Ну как же не совсем-то? Если квадратный трёхчлен в одной точке принимает положительное значение, в другой точке отрицательное, то дискриминант положительный. Никаких $\gamma<0$ и $\gamma>0$ рассматривать не нужно.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1070727 писал(а):

Ну как же не совсем-то? Если квадратный трёхчлен в одной точке принимает положительное значение, в другой точке отрицательное, то дискриминант положительный.

Остаётся ещё вариант, что трёхчлен не квадратный (здесь это при $\gamma=-1$), но в этом случае дискриминант формально тоже положительный.

[valkat]

Вообще, в заданиях к главе "доказательство неравенств" в этом учебнике (Виленкин, 10 класс, углубленный уровень) все примеры (их там 5 разных заданий, в каждом несколько примеров) решались путем преобразования выражений. Вот перед заданиями пишется, цитирую: "Доказательство тождественности неравенств сводится обычно к использованию основных свойств неравенств и того, что $x^2 \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$"
И, собственно, все преобразовывалось, хоть и громоздко, но всегда получалось очевидным, что неравенство верно. И только этот пример вызвал именно проблемы в преобразовании, так как не хватало умения разглядеть нужный подходящий результат, и преобразованиями прийти к нему. Но, как выяснилось, и это возможно.
А графический способ выглядит намного проще, странно, почему про такой способ не упоминалось в учебнике, вернее в этой главе (возможно далее и упомянут его, еще не дошёл).
Или задача всё таки в большей степени - натаскать учеников в умении хорошо видеть пример, и соответственно уметь его приводить к другому нужному виду?
Думаю, решившего пример графически, от других и отличает способность творчески мыслить ну, или, хотя бы оригинальней

[provincialka]

valkat в сообщении #1070767 писал(а):

Думаю, решившего пример графически, от других и отличает способность творчески мыслить ну, или, хотя бы оригинальней

На уровне 10 класса -- видимо, да. Но для математика такой прием очевиден. И даже, скорее, не графическое решение, а использование идеи функции.

Кстати, вспомнился опыт проведения одной городской олимпиады. Давали задачу

Известно, что $c(a+b+c)<0$. Доказать, что уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет хотя бы одно решение

Были решения через дискриминант, лучше или хуже. Но естественного для жюри решения не привел никто.

Кстати, valkat, можете попробовать догадаться до него!

[Munin]

valkat
Вообще, это всегда разные задачи, и часто конфликтующие: натаскать на надёжный и скучный способ решения задач, и научить видеть какой-то простой и понятный способ. И второе - требует бо́льших способностей ученика, так что это просто противопоказано как путь "для всех".

[valkat]

provincialka в сообщении #1070777 писал(а):

Известно, что $c(a+b+c)<0$. Доказать, что уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет хотя бы одно решение
Были решения через дискриминант, лучше или хуже. Но естественного для жюри решения не привел никто.

Кстати, valkat, можете попробовать догадаться до него!

Попробую, опираясь на эту самую идею функции, на Ваш суд дать такое решение:
так как $c(a+b+c)<0$, это неравенство верно в таких случаях:
1 $c < 0 \cup (a+b+c)>0$
2 $c > 0 \cup (a+b+c)<0$

чтобы уравнение имело как минимум одно решение, нужно, чтобы график функции $f(x)=ax^2+bx+c$или менял знак или касался оси $OX$.
Покажем что график уравнения $ax^2+bx+c=0$ меняет знак,
подставляем $x=0$, получаем $c$, подставляем $x=1$, получаем $a + b + c$
Так как по условию :
1 $c < 0 \cup (a+b+c)>0$
2 $c > 0 \cup (a+b+c)<0$
то получается, что при разных $x$ функция имеет положительные и отрицательные значения, а значит график пересекает ось $OX$, а следовательно уравнение имеет решения.
Достаточно ли этого для верного ответа?

[provincialka]

Да! Хотя я бы не расписывала неравенство в виде двух случаев. Просто записала бы исходное условие в виде $f(0)\cdot f(1)<0$, что и означает, что функция принимает в 0 и 1 значения разных знаков. А тогда между ними -- обращается в 0.

[valkat]

Munin в сообщении #1070783 писал(а):

И второе - требует бо́льших способностей ученика, так что это просто противопоказано как путь "для всех".

Если смотреть еще глубже - в этом "пути для всех" скрывается жизнь, интересно, могла бы она развиваться и существовать, как-нибудь по-другому...

Цитата:

Да! Хотя я бы не расписывала неравенство в виде двух случаев. Просто записала бы исходное условие в виде $f(0)\cdot f(1)<0$, что и означает, что функция принимает в 0 и 1 значения разных знаков. А тогда между ними -- обращается в 0.

Если бы вчера не объяснили бы уважаемые участники созданной темы, то решал бы через дискриминант.
Но есть еще вопрос по этому заданию - в условии стоит "как минимум" одно решение. Не могу понять, получается, что существование только одного решения для этого уравнения при заданных условиях доказать невозможно?

[gris]

А всегда ли это парабола?

[Someone]

valkat в сообщении #1070812 писал(а):

Не могу понять, получается, что существование только одного решения для этого уравнения при заданных условиях доказать невозможно?

У квадратного уравнения обычно два корня…