Задача про шары

[Tosha]

В ящике $a$ белых и $b$ черных шаров. Наугад вынимают $k$ шаров, где $k\le a+b$. Найти $E\xi, D\xi$, где $\xi$ -- число вынутых белых шаров.

Вероятность того, что ровно один белый шар будет

$\dfrac{a}{a+b}\cdot \dfrac{b}{a+b-1}\cdot \dfrac{b-1}{a+b-2}\cdot ...\cdot \dfrac{1}{a+b-k}$

Вероятность того, что ровно два белых шара

$\dfrac{a}{a+b}\cdot \dfrac{a-1}{a+b-1}\cdot \dfrac{b}{a+b-2}\cdot \dfrac{b-1}{a+b-3}\cdot ...\cdot \dfrac{1}{a+b-k}$

.....

Правильно ли это? Не уж-то все так громоздко?

[iifat]

Это — вероятность того, что сначала будет вынут один (два) белых шара, а потом только чорные.

[Tosha]

iifat в сообщении #1070790 писал(а):

Это — вероятность того, что сначала будет вынут один (два) белых шара, а потом только чорные.

Спасибо! Видно нужно еще домножить на $C_n^k$?

Но можно ли это как-то упростить, чтобы адекватно посчитать матожидание?

[gris]

Матожидание, по-моему, можно назвать и без формул. А вот с дисперсией как быть?

[Tosha]

gris в сообщении #1070795 писал(а):

Матожидание, по-моему, можно назвать и без формул. А вот с дисперсией как быть?

Матожидание $E\xi=k\cdot \dfrac{a}{a+b}$? (чисто интуитивно произведение "доли белых шаров" на количество вынутых).

[ewert]

Tosha в сообщении #1070794 писал(а):

Но можно ли это как-то упростить, чтобы адекватно посчитать матожидание?

Это не упрощать надо, а с самого начала записывать адекватно.

Вот, скажем: как Вы думаете, что это за зверь -- $\sum\limits\frac{C_a^i\cdot C_b^{k-i}}{C_{a+b}^k}$?... и чему, соответственно, он равен (ну хоть в простейшем случае, когда $k\leqslant\min\{a,b\}$?...

А ведь после умножения общего члена суммы на $i$ она не так уж и принципиально изменится...

[--mS--]

gris в сообщении #1070795 писал(а):

Матожидание, по-моему, можно назвать и без формул. А вот с дисперсией как быть?

Абсолютно так же, как и с матожиданием.

[gris]

--mS--, вот мне удивительно, что большинство комбинаторное решение воспринимает проще, а вот то, что там Бернулли сидит — с трудом. Никак не получается поверить, что вероятность вынуть $i$-тым белый шар не зависит от $i$.

[Tosha]

Спасибо, все понятно!