Электрическое сопротивление неоднородного тела

[druggist]

Для случая достаточно длинного проводника(длина много больше характерного размера поперечного сечения) скорее всего можно положить, что потенциал слабо меняется по поперечному сечению. В этом приближении для проводимости бесконечно тонкого элементика длины сечения в точке x будем иметь
$\lambda_1(1-x)+\lambda_2 x$,(имеется в виду безразмерная, нормированная на длину координата $x$, отсчитываемая от положительного электрода, см.рис в стартовом посте )
а для сопротивления (в данном случае это последовательное соединение элементиков -сумма их сопротивлений или обратных проводимостей) :

$$R=k\int\limits_{0}^{1}dx/(\lambda_1(1-x)+\lambda_2 \ x)$$

Проинтегрировав, для сопротивления будем иметь:

$R=k (\operatorname{Ln}(1-(\lambda_1-\lambda_2)/\lambda_1))/(\lambda_1-\lambda_2)$ (полагаем для определенности $\lambda_1>\lambda_2$ )

Интересно, что эмпирическое выражение предложенное ТС, при разложении в ряд Тэйлора по малому параметру $(\lambda_1-\lambda_2)/\lambda_1$ дает тот же численный коэфф. $1/2$ при линейном члене (конечно, для случая мало отличающихся проводимостей)

[Andrey_Kireew]

druggist в сообщении #1070725 писал(а):

Для случая достаточно длинного проводника(длина много больше характерного размера поперечного сечения) скорее всего можно положить, что потенциал слабо меняется по поперечному сечению. В этом приближении для проводимости бесконечно тонкого элементика длины для сечения в точке x будем иметь
$\lambda_1(1-x)+\lambda_2 x$,(имеется в виду безразмерная, нормированная на длину координата $x$ )
а для сопротивления (в данном случае это последовательное соединение элементиков -сумма их сопротивлений или обратных проводимостей) :

$$R=k\int\limits_{0}^{1}dx/(\lambda_1(1-x)+\lambda_2 \ x)$$

Проинтегрировав, для сопротивления будем иметь:

$R=k (\operatorname{Ln}(1-(\lambda_1-\lambda_2)/\lambda_1))/(\lambda_1-\lambda_2)$ (полагаем для определенности $\lambda_1>\lambda_2$ )

Интересно, что эмпирическое выражение предложенное ТС, при разложении в ряд Тэйлора по малому параметру $(\lambda_1-\lambda_2)/\lambda_1$ дает тот же численный коэфф. $1/2$ при линейном члене

интересный подход, в принципе сам думаю что решение следует искать среди чего то подобного
но к сожалению ваше уравнение не соглассуется с результатами численного расчёта, причём расхождение качественное,
видимо гипотезу о постоянстве потенциала в сечении принимать никак нельзя, для интереса привожу картину распределения поля в проводнике

как видите наибольшая неоднородность именно на границе раздела, оно и не удивительно, ведь там скапливается некомпенсированный заряд
рискну предположить, что изменение длинны проводника ситуации кардинально не изменит

[Munin]

Andrey_Kireew в сообщении #1070734 писал(а):

но к сожалению ваше уравнение не соглассуется с результатами численного расчёта, причём расхождение качественное

Ваш численный расчёт как раз не подходит под условие "достаточно длинного проводника".

Кроме того, не надо цитировать целиком предыдущее сообщение.

[druggist]

Andrey_Kireew в сообщении #1070734 писал(а):

рискну предположить, что изменение длинны проводника ситуации кардинально не изменит

Так Вы приведите две картинки с разными отношениями длины к ширине, тогда ситуация будет яснее. Про расчет поподробнее, если можно, или это натурный эксперимент, электролитическая ванна или что-то в этом роде?

[Munin]

druggist
См. предыдущую тему.

[Andrey_Kireew]

druggist в сообщении #1070741 писал(а):

Так Вы приведите две картинки с разными отношениями длины к ширине, тогда ситуация будет яснее. Про расчет поподробнее, если можно, или это натурный эксперимент, электролитическая ванна или что-то в этом роде?

это конечноэлементная модель на основе уравнения $div(\lambda\bar{E})=0$ c соответствующими граничными условиями, точность этой модели вполне удовлетворительная (оценивалась по разным критериям)
о натурных экспериментах пока речь не идёт, из за множества неучтённых факторов они могут только запутать ситуацию

вторую картинку не вижу смысла приводить, так как произвести расчёт не так то просто, а этот предельный случай не представляет никакого практического интереса
кроме того, как я уже писал ваше уравнение имеет качественное расхождение с численным расчётом (кривая имеет совсем другую форму, я строил графики и это очевидно), при $\lambda_1=\lambda_2$ там вообще разрыв, с моим уравнением ничего такого нет и отклонения можно считать случайными
но повторюсь, сам подход мне понравился

[druggist]

Andrey_Kireew в сообщении #1070753 писал(а):

при $\lambda_1=\lambda_2$ там вообще разрыв

Вы уверены?

[Andrey_Kireew]

druggist в сообщении #1070760 писал(а):

Вы уверены?

действительно, разрыва нет, это я ошибся, но всё равно расхождения большие и качественные, характер кривой совсем не тот,
для наглядности привожу графики зависимости интегральной проводимости (1/R) от $\lambda_1$ для $\lambda_2=1$


-- 06.11.2015, 18:49 --

из интереса провёл расчёт для отношения длинны/ширина 10:1

druggist видимо прав, эквипотенциали стали почти прямыми

[Munin]

Andrey_Kireew в сообщении #1070753 писал(а):

вторую картинку не вижу смысла приводить, так как произвести расчёт не так то просто, а этот предельный случай не представляет никакого практического интереса

Практического - нет, а теоретический - да, для анализа и предложения формулы.

Andrey_Kireew в сообщении #1070753 писал(а):

кроме того, как я уже писал ваше уравнение имеет качественное расхождение с численным расчётом

В этом аргументе вы ошиблись.

[Andrey_Kireew]

Munin в сообщении #1070785 писал(а):

В этом аргументе вы ошиблись.

видимо так
но тогда получается, что при большой длинне формула $\sqrt{\lambda_1\cdot\lambda_2}$ должна стать менее точной чем формула druggist, так как расстояние в обоих формулах мало на что влияет, а между собой они явно расходятся

надо это проворить

[Munin]

Во, хорошо мыслите.

[Andrey_Kireew]

для интереса привожу результаты

всё так как я предполагал, красная кривая - результат численного расчёта (теперь она почти совпадает с уравнением druggist), а зелёная $\sqrt{\lambda}$

ситуация более менее прояснилась

[vasya321]

Для сравнения ещё результаты расчетов. Геометрия задачи соответствует рисунку в стартовом посте. Параметры расчета: $H$=1м — высота электродов, $L$=100м — расстояние между электродами, $\lambda_2$=1 См/м. Для аналитического расчета использовалась формула $R=k (\operatorname{Ln}(1-(\lambda_1-\lambda_2)/\lambda_1))/(\lambda_2-\lambda_1)$, где $k$=100 1/м

Выводы:
1) Допущение о слабом изменение потенциала по сечению при $H/L \rightarrow 0$ справедливо
2) Похоже, что $k=L/H^2$

[druggist]

Для полного счастья можно посчитать другой предельный случай: $L/H \rightarrow 0$. Подозреваю, что действовать можно примерно в том же духе, только слои надо будет нарезать не параллельно, а перпендикулярно электродам

[Andrey_Kireew]

druggist в сообщении #1070914 писал(а):

Для полного счастья можно посчитать другой предельный случай: $L/H \rightarrow 0$. Подозреваю, что действовать можно примерно в том же духе, только слои надо будет нарезать не параллельно, а перпендикулярно электродам

вы правы, при $L/H \rightarrow 0$ силовые линии расположены строго нормально к электродам
из интереса построил картину поля для $L/H =0,1 $

(для наглядности пропорции по x и y изменены)

рискну предположить, что $R=\frac{k}{\sqrt{\lambda_1\cdot\lambda_2}}$ должно одинаково хорошо приближаться к обоим уравнениям при $L/H =1 $

признаюсь, Ваш подход я сильно недооценил