Задача по алгебре из 10го класса

[valkat]

Доброе время суток
Решил вспомнить школьный курс алгебры и вот следующая задача из курса алгебры 10 класса ввела меня в ступор.
Докажите, что при любом значении \gamma \not = -1 дискриминант уравнения $(x - a)(x - c) + \gamma(x - b)(x - d) = 0$
где $a < b < c < d$, положителен
После преобразований получил уравнение:
$(1 + \gamma)x^2 - [(a + c) + (b + d) \gamma]x + ac + bd \gamma$
Далее по формуле искал дискриминант, привел подобные члены, немного преобразовал и получил:
$(a - c + (b - d)\gamma)^2 - 4\gamma (a - b)(c - d)$
далее при $\gamma < 0$ , дискриминант положительный,
но при $\gamma > 0$ не могу найти решения, чтобы выражение $- 4\gamma(a - b)(c - d) $ имело неотрицательное значение.
Есть подозрения, что решается задача вообще каким-нибудь другим простейшим способом, и тут надеюсь на помощь уважаемых участников форума

[3D Homer]

Просто докажите, что выражение в левой части уравнения бывает и положительным, и отрицательным при разных значениях $x$. Условие $\gamma\ne-11$ служит только для того, чтобы уравнение оставалось квадратным и понятие дискриминанта имело смысл.

[Mihaylo]

Продолжайте издевательство над дискриминантом. Чтобы было понятнее, поменяйте знаки перед всеми переменными, чтобы из большего вычиталось меньшее.

Обратите внимание, что $(c-a)$ всегда больше $(b-a)$ и т.д. Благодаря этим неравенствам можно доказать неотрицательность дискриминанта.

Потом, когда решите, подскажу, как доказать неотрицательность в две строчки.

[valkat]

3D Homer в сообщении #1070511 писал(а):

Просто докажите, что выражение в левой части уравнения бывает и положительным, и отрицательным при разных значениях $x$. Условие $\gamma\ne-1$ служит только для того, чтобы уравнение оставалось квадратным и понятие дискриминанта имело смысл.

Я возможно неправильно Вас понял, поправьте меня пожалуйста в таком случае,
ход мыслей такой:
$\gamma = K, K > 0$
$X \ge d$
$\mapsto (x - a)(x - c) + K(x - b)(x - d) > 0$
Что не подходит.
Если брать $a, b, c, d$ в соответствии с заданными определениями, то количество $x_{1} и x_{2}$ ограничивается, получается, что нужно привести каким-то образом уравнение или дискриминант к такому виду, что $\gamma$ никак не повлияет на его решаемость, то есть этот дискриминант и будет $>0$. Однако нужные преобразования не могу выполнить.
Заклинило на этом несчастном примере
Если вы имели ввиду другое доказательство, не попробуете ли понятнее намекнуть на него?

Цитата:

Продолжайте издевательство над дискриминантом. Чтобы было понятнее, поменяйте знаки перед всеми переменными, чтобы из большего вычиталось меньшее.

Обратите внимание, что $(c-a)$ всегда больше $(b-a)$ и т.д. Благодаря этим неравенствам можно доказать неотрицательность дискриминанта.

Несколько часов его пытаюсь и так и этак взять, не хватает по всей видимости навыка "увидеть позицию", но попробую конечно еще, спасибо

[мат-ламер]

Пока не подошёл 3D Homer, намекну, что выражение в левой части уравнения отрицательно на интервале $(b,c)$. Докажите. Хотя это только при положительном $\gamma$ очевидно. При $-1<\gamma <0 $ надо искать другой интервал отрицательности. (А при $\gamma <-1$ положительности).

[Otta]

valkat
Что на практике дает информация о том, что дискриминант квадратного уравнения положителен?

[Mihaylo]

valkat в сообщении #1070542 писал(а):

Несколько часов его пытаюсь и так и этак взять, не хватает по всей видимости навыка "увидеть позицию", но попробую конечно еще, спасибо

Намек такой: что если $(c-a)$ в дискриминанте заменить на $(b-a)$? Получим выражение, которое меньше нашего дискриминанта, зато выражение уже чуть-чуть проще...

[valkat]

Цитата:

Otta
Что на практике дает информация о том, что дискриминант квадратного уравнения положителен?

А почему Вы хотите об этом поговорить?

Mihaylo в сообщении #1070560 писал(а):

valkat в сообщении #1070542 писал(а):

Несколько часов его пытаюсь и так и этак взять, не хватает по всей видимости навыка "увидеть позицию", но попробую конечно еще, спасибо

Намек такой: что если $(c-a)$ в дискриминанте заменить на $(b-a)$? Получим выражение, которое меньше нашего дискриминанта, зато выражение уже чуть-чуть проще...

если правильно Вас понял, то немного переосмыслив сказанное, пришел к такому результату
в выражении:
$D = (a - c + (b - d)\gamma)^2 - 4\gamma (a - b)(c - d)$,
так как $a < b< c< d$ и $a - c < a - b, b - d < c - d $,
$D = (a - c + (b - d)\gamma)^2 - 4\gamma (a - b)(c - d)$ можно безболезненно заменить, не теряя при этом смысла на
$D = (a - c + (b - d)\gamma)^2 - 4\gamma (a - c)(b - d)$, потом решая далее и получая: $D = (a - c - (b - d)\gamma)^2 $,
утверждается, что $D>0$
Такой ход возможен?
мат-ламер

Цитата:

Пока не подошёл 3D Homer, намекну, что выражение в левой части уравнения отрицательно на интервале $(b,c)$. Докажите. Хотя это только при положительном $\gamma$ очевидно. При $-1<\gamma <0 $ надо искать другой интервал отрицательности. (А при $\gamma <-1$ положительности).

Я этот способ не могу понять. Получается что $\gamma$ имеет всегда определенный смысл, по отношению к заданному интервалу, но ведь по условию этого как раз и не нужно.

[Mikhail_K]

valkat в сообщении #1070571 писал(а):

А почему Вы хотите об этом поговорить?

Очевидно, Otta хочет поговорить об этом потому, что это поможет решить задачу.
На самом деле, выражение для дискриминанта здесь можно вообще не выписывать. Надо только понимать, что такое дискриминант и зачем он нужен.
Посмотрите, ведь слева в Вашем уравнении - сумма двух квадратных трёхчленов. Подумайте, как могут выглядеть их графики.

[Otta]

valkat в сообщении #1070571 писал(а):

А почему Вы хотите об этом поговорить?

Пожалуйста, не отвлекайтесь на изучение природы моих желаний. Просто ответьте на заданный вопрос. :)

[valkat]

Mikhail_K в сообщении #1070578 писал(а):

valkat в сообщении #1070571 писал(а):

А почему Вы хотите об этом поговорить?

Очевидно, Otta хочет поговорить об этом потому, что это поможет решить задачу.
На самом деле, выражение для дискриминанта здесь можно вообще не выписывать. Надо только понимать, что такое дискриминант и зачем он нужен.
Посмотрите, ведь слева в Вашем уравнении - сумма двух квадратных трёхчленов. Подумайте, как могут выглядеть их графики.

Квадратное уравнение можно представить ввиде $(x+m)+n$, что дает параболу сдвинутую влево или вправо, вверх или вниз
получается графики выглядят как парабола $x^2$ и парабола$ -x^2$
то есть должны пересекаться при нужных интервалах.
Простите если мои сообщения вызвали какие-либо негативные эмоции, слишком узко глядел на возможное решение примера
Otta собственно смысл Вашего вопроса мне теперь стал понятен, а замечание Ваше... это Вы правильно сказали, увы, иногда грешу этим

[мат-ламер]

valkat в сообщении #1070571 писал(а):

Я этот способ не могу понять. Получается что $\gamma$ имеет всегда определенный смысл, по отношению к заданному интервалу, но ведь по условию этого как раз и не нужно.

Ничего плохого нет, что доказательство чуть меняется, (но не принципиально) для разных $\gamma$. Для начала решите для $\gamma > 0$.

[Mihaylo]

valkat в сообщении #1070571 писал(а):

Такой ход возможен?

Если обозначить выражение-замену через $D_1$ и показать, что $D>D_1>0$ при $\gamma>0$, то отсюда последует, что $D>0$ при $\gamma>0$. При $\gamma\leqslant 0$ дискриминант очевидно положителен. Итог: дискриминант всегда положителен.
Это короткое доказательство.

Можно доказать также в лоб, без замены. Начало такое:
$D = (a - b + b - c + (b - c + c - d)\gamma)^2 - 4\gamma (a - b)(c - d) = (a - b + (c - d)\gamma + (b-c)(1+\gamma))^2 - 4\gamma (a - b)(c - d)$
Далее раскрыть квадратные скобки...

Ну и третий вариант подсказывают остальные участники форума. Когда дискриминант положителен, то парабола пересекает ось $X$ в двух точках, а значит функция меняет знак... Справедливо и обратное: если функция меняет знак при изменении $x$, то дискриминант положителен.

[Otta]

valkat в сообщении #1070585 писал(а):

Простите если мои сообщения вызвали какие-либо негативные эмоции, слишком узко глядел на возможное решение примера
Otta собственно смысл Вашего вопроса мне теперь стал понятен, а замечание Ваше...

Какие эмоции, бог с Вами. На вопрос-то ответьте )))

Mihaylo, он был не к Вам, если что.

[мат-ламер]

Otta
А на что вы намекали? Что можно задачу вообще решать без дискриминанта? Или что-то ещё?