Существование распределения, отличного от геометрического

[ProPupil]

Что ж, после прокола с предыдущей задачей попробую заинтересовать народ другой, но по той же теме.

Пусть $\xi_1$ и $\xi_2$ - целочисленные неотрицательные независимые случайные величины такие, что $P(\xi_1 = k | \xi_1+\xi_2 = n) = \frac{1}{n+1}, k=0,1,\dots,n, \, n = 0,1,\dots$.
Следует ли отсюда, что эти величины имеют геометрическое распределение?

[NSKuber]

Наверное, также подразумевалось в виду, что $\xi_1$ и $\xi_2$ одинаково распределены?
В таком случае ответ - да.
Обозначим $P(\xi_1=k)=p_k$.
Тогда $P(\xi_1+\xi_2=n)=\frac{P(\xi_1=k, \xi_1+\xi_2=n)}{P(\xi_1=k|\xi_1+\xi_2=n)}=(n+1)p_k p_{n-k}$.
С другой стороны, $P(\xi_1+\xi_2=n)=\sum\limits_{l=0}^{n}p_l p_{n-l}$.
Отсюда $\sum\limits_{l=0}^n \frac{p_l p_{n-l}}{p_k p_{n-k}} =n+1$.
Просуммировав по $k$, получаем $\sum\limits_{l,k=0}^n \frac{p_l p_{n-l}}{p_k p_{n-k}} =(n+1)^2$.
Далее, сумму можно разбить на пары (выбросив диагональ, если нужно) на пары $\frac{p_l p_{n-l}}{p_k p_{n-k}}+\frac{p_k p_{n-k}}{p_l p_{n-l}}$, каждая из которых не меньше двойки. Из последнего равенства, учитывая число пар, получаем, что каждая пара должна в точности равняться двойке, то есть $p_k p_{n-k}=p_l p_{n-l}$ для всех $n\geq \max(k, l)$. Отсюда $\frac{p_{s-k}}{p_{s-l}}=\frac{p_l}{p_k}=\frac{p_{n-k}}{p_{n-l}}$ для всех $s,n \geq \max(k,l)$. Положив $l=k-1$, $s=k$, $n=k+1$, получим $p_2=\frac{p_1^2}{p_0}$. Подставляя другие $l,s,n$ и используя индукцию, вычислим $p_n=\frac{p_1^n}{p_0^{n-1}}$. Так как сумма всех вероятностей равна единице, просуммировав прогрессию найдём $p_1=p_0(1-p_0)$, что, с учётом предыдущей формулы, завершает доказательство.