неравенство с параметром

[Brukvalub]

\[ \begin{array}{l} x^2 + 6x + 7 + a = (x + 3)^2 + a - 2 \\ x^2 + 4x + 7 - 4a = (x + 2)^2 + 3 - 4a \\ \end{array} \]

Теперь переобозначим

\[ y = x + 3\;;\;b = 2 - a \]

Неравенства перепишутся в виде:

\[ \begin{array}{l} y^2 \le b \\ (y - 1)^2 \le 5 - 4b \\ \end{array} \]

Чтобы они оба имели решения, нужно, чтобы выполнялось неравенство

\[ 0 \le b \le 1.25 \]

После этого выписываете решения - это будут отрезки или точки, изучаете их пересечение и накладываете требуемое условие на длину.

[Алексей К.]

Nu a prosto reshit' odno neravenstvo? Nikak? Tipa
$-3-\sqrt{9-(7{+}a)}\le x \le -3+\sqrt{9-(7{+}a)}$?

[Ishida Viper-Yuki]

Найти все значения параметра а, при каждом из которых система не имеет решений
$ \left\{ \begin{array}{l} -4|x|+ay=1+a\\ (6+a)x+2|y|=3+a \end{array} \right$
___________
Вариант решения.Не уверен..
$ \left\{ \begin{array}{l} y=$\frac 4 a$|x|+$\frac {1+a} a$\\ |y|=--\frac {6+a} {2}x+\frac {3+a} 2 \end{array} \right$
1)$ \left\{ \begin{array}{l} -\frac {6+a} 2 = \frac 4 a \\ \frac {1+a} a > \frac {3+a} 2 \end{array} \right$

2)$ \left\{ \begin{array}{l} -\frac {6+a} 2 = \frac 4 a \\ \frac {1+a} a < \frac {3+a} 2 \end{array} \right$
.......
a=-4

[нг]

а при $a = 0$?!

[незваный гость]

Задача довольно утомительная, поскольку требует большого количества выкладок, которые надо сделать аккуратно.

Один из возможных подходов: представить $x = s |x|$, $y = t |y|$, где $s, t = \pm1$. Тогда мы имеем систему двух линейных уравнений относительно $|x|, |y|$ с параметрами $a, s, t$. Она разрешима тогда и только тогда, когда 1) она совместна, и 2) обе переменных в решении неотрицательны. Соответственно, исходная система не имеет решений если все варианты (по $s, t$) несовместны и ни один из них не имеет неотрицательных решений.

Итого: у меня получился ответ, состоящий из двух интервалов.

[Ishida Viper-Yuki]

Спасибо за помощь ^^

[bot]

незваный гость писал(а):

Итого: у меня получился ответ, состоящий из двух интервалов.

Неточность речи или потеряна точка? У меня интервал и полуинтервал: $[-3-\sqrt{17}; \ -\frac{3+\sqrt{33}}{2}) \ \cup \ (\frac{-5+\sqrt{17}}{2} ; \ 1)$

Дело было вечером, делать было нечего, дай-ка посчитаю ... Сначала собирался эксплуатировать $\vee / \wedge$-характер одного графика и $< / >$- характер другого, но быстро отказался. Тупо взял противоположную задачу (при каких a есть решение) и в каждой четверти прорешал. Ещё хорошо, что случай вырожденности во всех случаях приводил к несовместности, а ведь здесь составитель мог и засаду устроить. Впрочем и без засад хлопот хватало - даже калькулятор в руки взял, чтобы все возникшие корни по возрастанию расположить. Хотя и вместились все вычисления на 1 стр, но внимания они много потребовали.
Согласен - трудовая задача, но трудности эти чисто вычислительные. На месте составителя я бы убрал эти сложности, а вот засаду бы устроил.

[незваный гость]

bot писал(а):

Неточность речи или потеряна точка?

Намеренная расплывчатость формулировки. Я специально не уточнял, о каких интервалах идёт речь: открытых, закрытых, или полуоткрытых.