Оценка количества решений диофан. уравнений Круговым методом

[vicvolf]

Рассмотрю метод оценки количества решений диофантовых уравнений - Круговой метод Харди-Литлвуда (КМ). Данный метод позволяет определить количество решений диофантовых уравнений без нахождения самих решений. Круговой метод Харди-Литлвуда может быть использован для получения количества решений далеко не всех уравнений, но позволяет сделать достаточно точно. КМ позволяет определить асимптотику количества решений для некоторых типов алгебраических диофантовых уравнений.

Если рассматривать алгебраическое диофантово уравнение:
$c_1x_1^{k_1}+c_2x_2^{k_2}+...+c_sx_s^{k_s} =n$, (1)
то если все коэффициенты целые и положительные и $n$ целое и положительное, то уравнение (1) имеет конечное число решений (в случае отсутствия решений считается, что количество решений равно 0, т.е. также конечно). В случае конечного числа решений КМ дает асимптотику количества решений уравнения (1) в зависимости от значения $n$.

Обозначим $R_s(n), R^{+}_s(n)$ - соответственно количество неотрицательных и положительных целых (натуральных) решений уравнения (1) в случае, если $a_i>0$.

Так как $R_s(n), R^{+}_s(n)$ являются последовательностями, то для них существуют производящие функции соответственно:
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}$, (2)
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}$, (3)
если указанные ряды сходятся при $|t|<R$.

Поговорим о получении производящих функций (2), (3):
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}$,
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}$.
Рассмотрим количество натуральных решений уравнения:
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_sx_s=n$, (4)
где все $a_i$- нутуральные числа и $n\geq\sum_{i=1}^{s}{a_i}$.
Известно, что данное уравнение имеет натуральные решения, если $n$ кратно наибольшему делителю $a_i$. В остальных случаях $R_s^{+}(n)=0$.
Получим производящую функцию количества натуральных решений уравнения (4):
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}=(\sum_{x_1=1}^{\infty}{t^{a_1x_1}})...(\sum_{x_s=1}^{\infty}{t^{a_sx_s}})$. (5)
Так как все ряды в (5) сходятся при $|t|<1$, то получим:
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}=t^{a_1}...t^{a_s}/(1-t^{a_1})..(1-t^{a_s})$. (6)
Аналогично (6) получим производящую функцию количества неотрицательных решений уравнения (4):
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}=(\sum_{x_1=0}^{\infty}{t^{a_1x_1}})...(\sum_{x_s=0}^{\infty}{t^{a_sx_s}})$. (7)
Так как все ряды в (7) сходятся при $|t|<1$, то получим:
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}=1/(1-t^{a_1})...(1-t^{a_s})$. (8)

В частном случае на основании (7), (8) получим производящие функции количества решений для уравнения:
$x_1+x_2+...+x_s=n$, (9)
где $n\geq s$.
Производящая функция количества натуральных решений уравнения (9) на основании (6):
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}=t/(1-t)...t/(1-t)}=t^s/(1-t)^s$. (10)
Аналогично (10) производящая функция количество неотрицательных решений уравнения (9) на основании (8):
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}=1/(1-t)...1/(1-t)}=1/(1-t)^s$. (11)

Обозначим аналитическое продолжение производящих функций (2), (3) на комплексную область $|z|<R$ соответственно:
$\varphi(z), \varphi^{+}(z)$ (12).
Если функции (12) являются аналитическими в области $|z|<R$, то их можно почленно дифференцировать в этой области нужное число раз и на основании теорем Коши и Тейлора (ТФКП) справедливы формулы:
$R_s(n)=Res[\varphi(z)/z^{n+1},0]=1/n!\lim_{z \to 0} \varphi^{(n)}(z)=1/2\pi i\int_{|z|<R}{\varphi(z) dz/z^{n+1}$, (13)
$R_s^{+}(n)=Res[\varphi^{+}(z)/z^{n+1},0]=1/n!\lim_{z \to 0}\varphi^{+(n)}(0)=1/2\pi i\int_{|z|<R}{\varphi^{+}(z) dz/z^{n+1}$. (14)
Отсюда в честь авторов и название метода - Круговой метод Харди-Литлвуда.

Так как производящие функции (6), (7) являются аналитическими при $|z|<1$, то на основании (13), (14) для количества решений уравнения (4) справедливы формулы:
$R_s^{+}(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{z^{a_1+...+a_s} dz/z^{n+1}(1-z^{a_1})...(1-z^{a_s})}$. (20)

$R_s(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{dz/z^{n+1}(1-z^{a_1})...(1-z^{a_s})}$.(21)
Так как производящие функции (18), (19) являются аналитическими при $|z|<1$, то на основании (13), (14) для количества решений уравнения (9) справедливы формулы:
$R_s^{+}(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{z^{s} dz/z^{n+1}(1-z)^{s}}$. (22)
$R_s(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{dz/z^{n+1}(1-z)^{s}}$. (23)
Интегралы (20) - (23) можно находить с помощью вычетов для получения количества решений уравнений (4), (9) при небольших значениях $n$.

Например, найдем количество решений для уравнения типа (9):
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1$. (24)
На основании формулы (21) для уравнения (24) получаем количество неотрицательных решений:

$$R_5(1)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{dz/z^{2}(1-z)^{5}}=Res[1/z^2(1-z)^5,0]=\lim_{z \to 0}((1-z)^{-5})'}=5$$

На основании формулы (22) для уравнения (24) получаем количество натуральных решений:
$R_5^{+}(1)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{z^{5} dz/z^{2}(1-z)^{5}}=0$, так как интеграл берется от аналитической функции.
Теперь найдем количество решений для уравнения типа (4):
$3x_1+2x_2=5$. (25)
На основании формулы (20) для уравнения (25) получаем количество натуральных решений:
$R_2^{+}(5)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{z^{5}dz/z^{6}(1-z^{3})(1-z^{2})}$=Res[1/z(1-z^3)(1-z^2),0]=\lim_{z \to 0}{1/(1-z^3)(1-z^2)}=1$

На основании формулы (21) для уравнения (25) при вычислении количества неотрицательных решений получаем:
$R_2(5)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{dz/z^{6}(1-z^{3})(1-z^{2})}=Res[1/z^{6}(1-z^{3})(1-z^{2}),0]$. (26)
Таким образом, при вычислении (26) для сравнительно небольших значений $n=5$ мы сталкиваемся с трудностью вычисление значения вычета в полюсе 6 порядка. В общем случае при больших значениях $n$ метод вычисления интегралов (21) - (24) через вычеты не подходит, поэтому требуется асимтотическая оценка по $n$ указанных интегралов сверху.
Оценка количества натуральных и неотрицательных решений для уравнения (9) известна, поэтому рассмотрим более сложные случаи.

Рассмотрим уравнение:
$x_1^k+x_2^k+...+x_s^k=n$, (27)
где все $x_i$ - неотрицательные числа, а $n$ -большое натуральное число.

Уравнение (27), в отличие от (9), имеет решения не при всех значениях $n$. Не будем останавливаться на условиях существования решений для уравнения (27). Для нас важно, что количество неотрицательных решений в случае их отсутствия равно 0. Нам нужно найти асимптотику количества неотрицательных решений уравнения (27) в случае, если решение этого уравнения существует.

Харди и Литлвуд с помощью своего метода нашли асимптотику количества представлений числа $n$ при $s>2^k$ :
$R^p_s(n)=\Gamma(1+1/k)\Gamma(s/k)^{-1}n^{s/k-1}\Sigma(n)+O(n^{s/k-1-\delta})$, (28)
где $\Gamma$ -гамма функция, $\Sigma(n)$ -сумма ряда, $\delta$ - малое положительное действительное число.
Для определения количества неотрицательных решений уравнения (27) надо количество представлений, полученное по формуле (28) умножить на возможное количество перестановок переменных $s!$ :
$R_s(n)=s! \Gamma(1+1/k)\Gamma(s/k)^{-1}n^{s/k-1}\Sigma(n)+O(n^{s/k-1-\delta})$. (29)

Позднее Виноградов, развив метод Харди-Литлвуда, доказал, что (28) справедливо уже при $s \geq 4$.
При этом при $s \geq \max (5,k+2)$ значение $\Sigma(n)<<1$, а при $\max(4,k) \leq s < \max(5,k+2)$ значение $\Sigma(n)<<n^{\epsilon}$ , где $\epsilon$- малое положительное действительное число.
Кроме того доказано, что $\Sigma(n)>>1$ при $s \geq 5, k=2$, $s\geq 4k$, если $k>2$ и является степенью 2, а также при $s\geq 3k/2$ в остальных случаях.
Проанализируем формулу (28).

Минимальное значение $s=3$ для уравнения (27) получается при $k=1$.
Асимптотику количества неотрицательных решений данного уравнения для $s=2,3,4 k \geq 2$ формула (28) не определяет.
Максимум количества решений по формуле (28) достигается естественно при $k=1$ . В этом случае на основании (29) получаем:
$ R^{+}_s(n)=s!\Gamma(s)^{-1}n^{s-1}\Sigma(n)+O(n^{s-1-\delta})$ . (30)
При $k=1,s \geq 2$ на основании вышесказанного $\Sigma(n)>>1$ в формуле (28), что не дает оценку сверху.
Однако, известно, что ряд сходится абсолютно, поэтому $\Sigma(n)=O(1)$. Учитывая, что при $s\geq 2$ значение $(\Gamma(s)^{-1} \leq 1$, то в в этом случае справедлива оценка:
$R_s(n) << n^{s-1}$. (31)
Однако, оценка (54) не точная, поэтому формула (29) интересна при $k \geq 2,s>2$.
В этом случае,на основании (29), асимптотическая оценка количества решений уравнения (27):
$R_s(n) << n^{s/k-1}$. (32)
В случае $s=2,3,4, k \geq 2$ требуется отдельная оценка, которой мы займемся.

Виноградов получил следующую формулу для определения количества представлений числа $n$, как сумму $k$ степеней неотрицательных чисел:
$R^p_s(n)=\int_{0}^{1} {f^s(x)e^{-2\pi x n}dx}$, (33)
где $f(x)= \Sigma_{m=1}^{[n^{1/k}]} {e^{2\pi x m^k}}$, (34)
а $[A]$ - целое значение числа $A$.

Известна лемма Хуа (Р. Вон "Метод Харди-Литлвуда", М, Мир, 1988, 184, стр 20):
Пусть $1 \leq j \leq k$. Тогда $\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^j}dx} <<N^{2^j-j+\epsilon}$, где $N=[n^{1/k}]$, а $\epsilon$- малое действительное положительное число.

Для $s=2$ на основании леммы Хуа получим:
$|R^p_2(n)|=|\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2}dx}| << N^{1+\epsilon}=n^{(1+\epsilon)/k}$. (35)
Для $s=3$ воспользуемся неравенством Коши-Буняковского (Шварца):
$|R^p_3(n)| = | \int_{0}^{1} {|f(x)|^{3}dx}| =| \int_{0}^{1} {|f(x)||f(x)|^{2}dx}| \leq \sqrt {(\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2}dx)(\int_{0}^{1} {|f(x)|^{4}dx)}$. (36)
На основании леммы Хуа и (36) получим оценку:
$|R^p_3(n)| \leq \sqrt {(\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2}dx)(\int_{0}^{1}} {|f(x)|^{4}dx)}}<<N^{3/2+\epsilon}=n^{(3/2+\epsilon)/k}$. (37)
Для $s=4$ на основании леммы Хуа получим:
$|R^p_4(n)|=|\int_{0}^{1} {|f(x)|^{4}dx}| << N^{2+\epsilon}=n^{(2+\epsilon)/k}$. (38)

Формулы (35),(37),(38) значительно лучше тривиальной оценки: $|R^p_s(n)|<<n^{s/k}$.
Для определения количества неотрицательных решений уравнения (27) надо количество представлений, полученное по формуле (50) умножить на возможное количество перестановок переменных $s!$ :
$ R_s(n)=s!R^p_s(n)$. (39)

Теперь рассмотрим верхнюю оценку количества неотрицательных решений уравнения:
$a_1x_1^k+a_2x_2^k+...+a_sx_s^k=n$, (40)
где все $x_i$ - неотрицательные числа, все $a_i$ - натуральные, а $n$ -большое натуральное число.
Верхняя оценка количества решений уравнения (40) при больших $n$ равна:
$ R_s(n)=s!(\Gamma(1+1/k)\Gamma(s/k)^{-1}n^{s/k-1}\Sigma(n))/\prod_{i=1}^{s} {a_i}} +O(n^{s/k-1-\delta}/\prod_{i=1}^{s} {a_i}} )$, (41)
т.е равна верхней оценке количества неотрицательных решений уравнения (27) при больших $n$, деленной на произведение коэффициентов уравнения (40).
Это связано с тем, что при переборе вариантов решений значение переменной $x_i^{i}$ в уравнении (40) меняется с шагом равным значению $a_i$, т.е. общее количество шагов перебора вариантов решения уменьшается на произведение коэффициентов уравнения (40) по сравнению с количеством шагов перебора для уравнения (27).

Теперь рассмотрим уравнение:
$x_1^{k_1}+x_2^{k_2}+...+x_s^{k_s}=n$, (42)
где $k_1,k_2,...k_s$ -натуральные числа, такие что:
$2 \leq k_1 \leq k_2 \leq...\leq k_s$ и $\Sigma_{i=1}^{s} {1/k_i}>1$. (43)
Мы не будем рассматривать вопросы разрешимости данного уравнения в неотрицательных числах. Это вопрос заслуживающий отдельного обсуждения.
Нас будет интересрвать только верхняя оценка количества решений данного уравнения в неотрицательных числах, когда такие решения существуют, так как если уравнение (42) не разрешимо в неотрицательных числах, то количество его решений равно 0.
Сначала сделаем предварительную верхнюю оценку количества неотрицательных решений уравнения (42).

Следуя Вону и Виноградову можно записать, что количество неотрицательных решений уравнения (42) равно:
$ R_s(n)=)=\int_{0}^{1} {\prod_{i=1}^{s}f_i(x) \cdot e^{-2\pi xn}dx}$,(44)
где $f_i(x)=\Sigma_{m=1}^{[n^{1/k_i}]}{e^{2\pi xm^{k_i}}}$. (45)
На основании (44):
$| R_s(n)|=|\int_{0}^{1} {\prod_{i=1}^{s}f_i(x) \cdot e^{-2\pi xn}dx}| \leq \int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |\cdot |e^{-2\pi xn}|dx}=\int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |dx$, (46)
так как $|e^{-2\pi xn}|=1$.
На основании (46):
$| R_s(n))| \leq \int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |dx \leq \prod_{i=1}^{s} \max |f_i(x)|$. (47)
На основании (45):
$\max |f_i(x)|=\max |\Sigma_{m=1}^{[n^{1/k_i}]}{e^{2\pi xm^{k_i}}} | \leq \Sigma_{m=1}^{[n^{1/k_i}]}|{e^{2\pi xm^{k_i}}}|=[n^{1/k_i}]$, (48)
где $[A]$ - целая часть числа $A$),
так как $|e^{2\pi xm^{k_i}}|= 1$.
Следовательно, на основании (47) и (48) мы получаем предварительную оценку:
$| R_s(n)| \leq \prod_{i=1}^{s} \max |f_i(x)| <<n^{\Sigma_{i=1}^{s}{1/k_i}}$. (49)

Теперь сделаем более точную верхнюю оценку количества неотрицательных решений уравнения (41).
На основании (44):
$| R_s(n))|=|\int_{0}^{1} {\prod_{i=1}^{s}f_i(x) \cdot e^{-2\pi xn}dx}| \leq \int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |\cdot |e^{-2\pi xn}|dx}= \int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |dx$, (50)
так как $|e^{-2\pi xn}|=1$.
На основании (49) и неравенства Гельдера:
$| R_s(n))| \leq \int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |dx \leq (\int_{0}^{1} {|f_1(x)|^2dx)^{1/2} \cdot (\int_{0}^{1} {|f_2(x)...f_s(x)|^2dx})^{1/2} \leq (\int_{0}^{1} {|f_1(x)|^2dx)^{1/2})$ $ \cdot (\int_{0}^{1} {|f_2(x)|^4dx})^{1/4} \cdot (\int_{0}^{1} {|f_3(x) ...f_s(x)|^4dx})^{1/4} $ $\leq... \leq (\int_{0}^{1} {|f_1(x)|^2dx)^{1/2}) \cdot (\int_{0}^{1} {|f_2(x)|^4dx})^{1/4} \cdot... \cdot (\int_{0}^{1} {|f_{s-1}(x)|^{2^{s-1}}dx})^{1/2^{s-1}} \cdot (\int_{0}^{1} {|f_{s}(x)|^{2^{s-1}}dx})^{1/2^{s-1}}$. (51)
Используя (51), лемму Хуа и обозначив $N_i=n^{1/k_i}$ получим:
$| R_s(n))| <<N_1^{(1+\epsilon_1)/2} \cdot N_2^{(2+\epsilon_2)/4} \cdot ...\cdot N_{s-1}^{(2^{s-1}-s+1+\epsilon_{s-1})/2^{s-1}} \cdot N_{s}^{(2^{s-1}-s+1+\epsilon_{s-1})/2^{s-1}}=$ $n^{\Sigma_{i=1}^{s-1}{(2^{i}-i+\epsilon_{i})/2^{i}k_i+(2^{s-1}-s+1+\epsilon_{s})/2^{s-1}k_s} $. (52)
Если преобразовать оценку (52) и сравнить с (49):
$n^{\Sigma_{i=1}^{s-1}{(2^{i}-i+\epsilon_{i})/2^{i}k_i+(2^{s-1}-s+1+\epsilon_{s})/2^{s-1}k_s}} =$ $ n^{\Sigma_{i=1}^{s-1}{(1-(i+\epsilon_i)/2^i)1/k_i}+{(1-(s-1+\epsilon_s)/2^{s-1})1/k_i}} < n^{\Sigma_{i=1}^{s}{1/k_i}}$, (53)
то на основании (53) становится ясно, что оценка (52) более точная.

Теперь рассмотрим верхнюю оценку количества неотрицательных решений уравнения:
$a_1x_1^{k_1}+a_2x_2^{k_2}+...+a_sx_s^{k_s}=n$, (54)
где все $x_i$ - неотрицательные числа, все $a_i$ - натуральные, а $n$ -большое натуральное число.
Верхняя оценка количества решений уравнения (54) при больших $n$ равна:
$ R_s(n)=1/\prod_{i=1}^{s}{a_i} \cdot n^{\Sigma_{i=1}^{s-1}{(2^{i}-i+\epsilon_{i})/2^{i}k_i+(2^{s-1}-s+1+\epsilon_{s})/2^{s-1}k_s}$, (55)
т.е равна верхней оценке количества неотрицательных решений уравнения (52) при больших $n$, деленной на произведение коэффициентов уравнения (54).
Это связано с тем, что при переборе вариантов решений значение переменной $x_i^{i}$ в уравнении (54) меняется с шагом равным значению $a_i$, т.е. общее количество шагов перебора вариантов решения уменьшается на произведение коэффициентов уравнения (54) по сравнению с количеством шагов перебора для уравнения (42).

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1053822 писал(а):

Рассмотрю метод оценки количества решений диофантовых уравнений - Круговой метод Харди-Литлвуда (КМ). Данный метод позволяет определить количество решений диофантовых уравнений без нахождения самих решений. Круговой метод Харди-Литлвуда может быть использован для получения количества решений далеко не всех уравнений, но позволяет сделать достаточно точно. КМ позволяет определить асимптотику количества решений для некоторых типов алгебраических диофантовых уравнений.

Если рассматривать алгебраическое диофантово уравнение:
$c_1x_1^{k_1}+c_2x_2^{k_2}+...+c_sx_s^{k_s} =n$, (1)
то если все коэффициенты целые и положительные и $n$ целое и положительное, то уравнение (1) имеет конечное число решений (в случае отсутствия решений считается, что количество решений равно 0, т.е. также конечно). В случае конечного числа решений КМ дает асимптотику количества решений уравнения (1) в зависимости от значения $n$.

Обозначим $R_s(n), R^{+}_s(n)$ - соответственно количество неотрицательных и положительных целых (натуральных) решений уравнения (1) в случае, если $a_i>0$.

Отличное начало! В уравнении (1) нет $a_i$, поэтому можно эти самые $a_i$ считать даже комплексными!

[vicvolf]

Это описка. В тексте также возможны описки в ссылках на формулы, так как удалялась часть текста.
Есть ли принципиальные замечания к оценкам? Встречались ли они в литературе ранее?

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1054145 писал(а):

Это описка. В тексте также возможны описки в ссылках на формулы, так как удалялась часть текста.
Есть ли принципиальные замечания к оценкам? Встречались ли они в литературе ранее?

Как можно прочесть текст, в котором удалялись куски и возникли "описки". Описки нужно вписать заново правильно, с уважением к читателю.
А все оценки, которые я увидел здесь, это тривиальные упражнения, переливание из пустого в порожнее. Вот те математики, которых вы цитируете, они действительно получали новые, нетривиальные результаты.
А вы демонстрируете здесь обычное решение студентом несложных упражнений из задачника по мат.анализу-тфкп.

[vicvolf]

Brukvalub в сообщении #1054213 писал(а):

А вы демонстрируете здесь обычное решение студентом несложных упражнений из задачника по мат.анализу-тфкп.

Надеюсь на форуме есть математики, которые понимают, что главное не количество формул в доказательстве, а полученный результат. Например, точная оценка количества неотрицательных целых решений уравнения (42).

[vicvolf]

Устранил описки в тексте сообщения.

Рассмотрю метод оценки количества решений диофантовых уравнений - Круговой метод Харди-Литлвуда (КМ). Данный метод позволяет определить количество решений диофантовых уравнений без нахождения самих решений. Круговой метод Харди-Литлвуда может быть использован для получения количества решений далеко не всех уравнений, но позволяет сделать достаточно точно. КМ позволяет определить асимптотику количества решений для некоторых типов алгебраических диофантовых уравнений.

Если рассматривать алгебраическое диофантово уравнение:
$c_1x_1^{k_1}+c_2x_2^{k_2}+...+c_sx_s^{k_s} =n$, (1)
то если все коэффициенты целые и положительные и $n$ целое и положительное, то уравнение (1) имеет конечное число неотрицательных или натуральных решений (в случае отсутствия решений считается, что количество решений равно 0, т.е. также конечно). В случае конечного числа решений КМ дает асимптотику количества решений уравнения (1) в зависимости от значения $n$.

Обозначим $R_s(n), R^{+}_s(n)$ - соответственно количество неотрицательных и положительных целых (натуральных) решений уравнения (1).
Так как $R_s(n), R^{+}_s(n)$ являются последовательностями, то для них существуют производящие функции соответственно:
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}$, (2)
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}$, (3)
если указанные ряды сходятся при $|t|<R$.

Поговорим о получении производящих функций (2), (3):
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}$,
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}$.
Рассмотрим количество натуральных решений уравнения:
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_sx_s=n$, (4)
где все $a_i$- нутуральные числа и $n\geq\sum_{i=1}^{s}{a_i}$.
Известно, что данное уравнение имеет натуральные решения, если $n$ кратно наибольшему делителю $a_i$. В остальных случаях $R_s^{+}(n)=0$.
Получим производящую функцию количества натуральных решений уравнения (4):
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}=(\sum_{x_1=1}^{\infty}{t^{a_1x_1}})...(\sum_{x_s=1}^{\infty}{t^{a_sx_s}})$. (5)
Так как все ряды в (5) сходятся при $|t|<1$, то получим:
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}=t^{a_1}...t^{a_s}/(1-t^{a_1})..(1-t^{a_s})$. (6)
Аналогично (6) получим производящую функцию количества неотрицательных решений уравнения (4):
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}=(\sum_{x_1=0}^{\infty}{t^{a_1x_1}})...(\sum_{x_s=0}^{\infty}{t^{a_sx_s}})$. (7)
Так как все ряды в (7) сходятся при $|t|<1$, то получим:
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}=1/(1-t^{a_1})...(1-t^{a_s})$. (8)

В частном случае на основании (6), (8) получим производящие функции количества решений для уравнения:
$x_1+x_2+...+x_s=n$, (9)
где $n\geq s$.
Производящая функция количества натуральных решений уравнения (9) на основании (6):
$\varphi^{+}(t)=\sum_{1}^{\infty} {R_s^{+}(n) t^n}=t/(1-t)...t/(1-t)}=t^s/(1-t)^s$. (10)
Аналогично (10) производящая функция количество неотрицательных решений уравнения (9) на основании (8):
$\varphi(t)=\sum_{0}^{\infty} {R_s(n) t^n}=1/(1-t)...1/(1-t)}=1/(1-t)^s$. (11)

Обозначим аналитическое продолжение производящих функций (2), (3) на комплексную область $|z|<R$ соответственно:
$\varphi(z), \varphi^{+}(z)$ (12).
Если функции (12) являются аналитическими в области $|z|<R$, то их можно почленно дифференцировать в этой области нужное число раз и на основании теорем Коши и Тейлора (ТФКП) справедливы формулы:
$R_s(n)=Res[\varphi(z)/z^{n+1},0]=1/n!\lim_{z \to 0} \varphi^{(n)}(z)=1/2\pi i\int_{|z|<R}{\varphi(z) dz/z^{n+1}$, (13)
$R_s^{+}(n)=Res[\varphi^{+}(z)/z^{n+1},0]=1/n!\lim_{z \to 0}\varphi^{+(n)}(0)=1/2\pi i\int_{|z|<R}{\varphi^{+}(z) dz/z^{n+1}$. (14)
Отсюда в честь авторов и название метода - Круговой метод Харди-Литлвуда.

Так как производящие функции (6), (8) являются аналитическими при $|z|<1$, то на основании (13), (14) для количества решений уравнения (4) справедливы формулы:
$R_s^{+}(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{z^{a_1+...+a_s} dz/z^{n+1}(1-z^{a_1})...(1-z^{a_s})}$. (15)

$R_s(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{dz/z^{n+1}(1-z^{a_1})...(1-z^{a_s})}$.(16)
Так как производящие функции (10), (11) являются аналитическими при $|z|<1$, то на основании (13), (14) для количества решений уравнения (9) справедливы формулы:
$R_s^{+}(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{z^{s} dz/z^{n+1}(1-z)^{s}}$. (17)
$R_s(n)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{dz/z^{n+1}(1-z)^{s}}$. (18)
Интегралы (15) - (18) можно находить с помощью вычетов для получения количества решений уравнений (4), (9) при небольших значениях $n$.

Например, найдем количество решений для уравнения типа (9):
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=1$. (19)
На основании формулы (18) для уравнения (19) получаем количество неотрицательных решений:

$$R_5(1)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{dz/z^{2}(1-z)^{5}}=Res[1/z^2(1-z)^5,0]=\lim_{z \to 0}((1-z)^{-5})'}=5$$

На основании формулы (17) для уравнения (19) получаем количество натуральных решений:
$R_5^{+}(1)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{z^{5} dz/z^{2}(1-z)^{5}}=0$, так как интеграл берется от аналитической функции.
Теперь найдем количество решений для уравнения типа (4):
$3x_1+2x_2=5$. (20)
На основании формулы (15) для уравнения (20) получаем количество натуральных решений:
$R_2^{+}(5)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{z^{5}dz/z^{6}(1-z^{3})(1-z^{2})}$=Res[1/z(1-z^3)(1-z^2),0]=\lim_{z \to 0}{1/(1-z^3)(1-z^2)}=1$

На основании формулы (16) для уравнения (20) при вычислении количества неотрицательных решений получаем:
$R_2(5)=1/2\pi i\int_{|z|<1}{dz/z^{6}(1-z^{3})(1-z^{2})}=Res[1/z^{6}(1-z^{3})(1-z^{2}),0]$. (21)
Таким образом, при вычислении (21) для сравнительно небольших значений $n=5$ мы сталкиваемся с трудностью вычисление значения вычета в полюсе 6 порядка. В общем случае при больших значениях $n$ метод вычисления интегралов (15) - (18) через вычеты не подходит, поэтому требуется асимтотическая оценка по $n$ указанных интегралов сверху.
Оценка количества натуральных и неотрицательных решений для уравнения (9) известна, поэтому рассмотрим более сложные случаи.

Рассмотрим уравнение:
$x_1^k+x_2^k+...+x_s^k=n$, (22)
где все $x_i$ - неотрицательные числа, а $n$ -большое натуральное число.

Уравнение (22), в отличие от (9), имеет решения не при всех значениях $n$. Не будем останавливаться на условиях существования решений для уравнения (22). Для нас важно, что количество неотрицательных решений в случае их отсутствия равно 0. Нам нужно найти асимптотику количества неотрицательных решений уравнения (22) в случае, если решение этого уравнения существует.

Харди и Литлвуд с помощью своего метода нашли асимптотику количества представлений числа $n$ при $s>2^k$ :
$R^p_s(n)=\Gamma(1+1/k)\Gamma(s/k)^{-1}n^{s/k-1}\Sigma(n)+O(n^{s/k-1-\delta})$, (23)
где $\Gamma$ -гамма функция, $\Sigma(n)$ -сумма ряда, $\delta$ - малое положительное действительное число.
Для определения количества неотрицательных решений уравнения (22) надо количество представлений, полученное по формуле (23) умножить на возможное количество перестановок переменных $s!$ :
$R_s(n)=s! \Gamma(1+1/k)\Gamma(s/k)^{-1}n^{s/k-1}\Sigma(n)+O(n^{s/k-1-\delta})$. (24)

Позднее Виноградов, развив метод Харди-Литлвуда, доказал, что (23) справедливо уже при $s \geq 4$.
При этом при $s \geq \max (5,k+2)$ значение $\Sigma(n)<<1$, а при $\max(4,k) \leq s < \max(5,k+2)$ значение $\Sigma(n)<<n^{\epsilon}$ , где $\epsilon$- малое положительное действительное число.
Кроме того доказано, что $\Sigma(n)>>1$ при $s \geq 5, k=2$, $s\geq 4k$, если $k>2$ и является степенью 2, а также при $s\geq 3k/2$ в остальных случаях.
Проанализируем формулу (23).

Минимальное значение $s=3$ для уравнения (22) получается при $k=1$.
Асимптотику количества неотрицательных решений данного уравнения для $s=2,3,4; k \geq 2$ формула (23) не определяет.
Максимум количества решений по формуле (23) достигается естественно при $k=1$ . В этом случае на основании (24) получаем:
$ R_s(n)=s!\Gamma(s)^{-1}n^{s-1}\Sigma(n)+O(n^{s-1-\delta})$ . (25)
При $k=1,s \geq 2$ на основании вышесказанного $\Sigma(n)>>1$ в формуле (23), что не дает оценку сверху.
Однако, известно, что ряд сходится абсолютно, поэтому $\Sigma(n)=O(1)$. Учитывая, что при $s\geq 2$ значение $(\Gamma(s)^{-1} \leq 1$, то в в этом случае справедлива оценка:
$R_s(n) << n^{s-1}$. (26)
Однако, оценка (26) не точная, поэтому формула (24) интересна при $k \geq 2,s>2$.
В этом случае,на основании (24), асимптотическая оценка количества решений уравнения (22):
$R_s(n) << n^{s/k-1}$. (27)
В случае $s=2,3,4, k \geq 2$ требуется отдельная оценка, которой мы займемся.

Виноградов получил следующую формулу для определения количества представлений числа $n$, как сумму $k$ степеней неотрицательных чисел:
$R^p_s(n)=\int_{0}^{1} {f^s(x)e^{-2\pi x n}dx}$, (28)
где $f(x)= \Sigma_{m=1}^{[n^{1/k}]} {e^{2\pi x m^k}}$, (29)
а $[A]$ - целое значение числа $A$.

Известна лемма Хуа (Р. Вон "Метод Харди-Литлвуда", М, Мир, 1988, 184, стр 20):
Пусть $1 \leq j \leq k$. Тогда $\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^j}dx} <<N^{2^j-j+\epsilon}$, где $N=[n^{1/k}]$, а $\epsilon$- малое действительное положительное число.

Для $s=2$ на основании леммы Хуа получим:
$|R^p_2(n)|=|\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2}dx}| << N^{1+\epsilon}=n^{(1+\epsilon)/k}$. (30)
Для $s=3$ воспользуемся неравенством Коши-Буняковского (Шварца):
$|R^p_3(n)| = | \int_{0}^{1} {|f(x)|^{3}dx}| =| \int_{0}^{1} {|f(x)||f(x)|^{2}dx}| \leq \sqrt {(\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2}dx)(\int_{0}^{1} {|f(x)|^{4}dx)}$. (31)
На основании леммы Хуа и (31) получим оценку:
$|R^p_3(n)| \leq \sqrt {(\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2}dx)(\int_{0}^{1}} {|f(x)|^{4}dx)}}<<N^{3/2+\epsilon}=n^{(3/2+\epsilon)/k}$. (32)
Для $s=4$ на основании леммы Хуа получим:
$|R^p_4(n)|=|\int_{0}^{1} {|f(x)|^{4}dx}| << N^{2+\epsilon}=n^{(2+\epsilon)/k}$. (33)

Формулы (30),(32),(33) значительно лучше тривиальной оценки: $|R^p_s(n)|<<n^{s/k}$.
Для определения количества неотрицательных решений уравнения (22) надо количество представлений, полученное по формулам (30),(32),(33) умножить на возможное количество перестановок переменных $s!$ :
$ R_s(n)=s!R^p_s(n)$. (34)

Теперь рассмотрим верхнюю оценку количества неотрицательных решений уравнения:
$a_1x_1^k+a_2x_2^k+...+a_sx_s^k=n$, (35)
где все $x_i$ - неотрицательные числа, все $a_i$ - натуральные, а $n$ -большое натуральное число.
Верхняя оценка количества решений уравнения (35) при больших $n$ равна:
$ R_s(n)=s!(\Gamma(1+1/k)\Gamma(s/k)^{-1}n^{s/k-1}\Sigma(n))/\prod_{i=1}^{s} {a_i}} +O(n^{s/k-1-\delta}/\prod_{i=1}^{s} {a_i}} )$, (36)
т.е равна верхней оценке количества неотрицательных решений уравнения (22) при больших $n$, деленной на произведение коэффициентов уравнения (35).
Это связано с тем, что при переборе вариантов решений значение переменной $x_i^{i}$ в уравнении (35) меняется с шагом равным значению $a_i$, т.е. общее количество шагов перебора вариантов решения уменьшается на произведение коэффициентов уравнения (35) по сравнению с количеством шагов перебора для уравнения (22).

Теперь рассмотрим уравнение:
$x_1^{k_1}+x_2^{k_2}+...+x_s^{k_s}=n$, (37)
где $k_1,k_2,...k_s$ -натуральные числа, такие что:
$2 \leq k_1 \leq k_2 \leq...\leq k_s$ и $\Sigma_{i=1}^{s} {1/k_i}>1$. (38)
Мы не будем рассматривать вопросы разрешимости данного уравнения в неотрицательных числах. Это вопрос заслуживающий отдельного обсуждения.
Нас будет интересрвать только верхняя оценка количества решений данного уравнения в неотрицательных числах, когда такие решения существуют, так как если уравнение (37) не разрешимо в неотрицательных числах, то количество его решений равно 0.
Сначала сделаем предварительную верхнюю оценку количества неотрицательных решений уравнения (37).

Следуя Вону и Виноградову можно записать, что количество неотрицательных решений уравнения (37) равно:
$ R_s(n)=)=\int_{0}^{1} {\prod_{i=1}^{s}f_i(x) \cdot e^{-2\pi xn}dx}$,(39)
где $f_i(x)=\Sigma_{m=1}^{[n^{1/k_i}]}{e^{2\pi xm^{k_i}}}$. (40)
На основании (39):
$| R_s(n)|=|\int_{0}^{1} {\prod_{i=1}^{s}f_i(x) \cdot e^{-2\pi xn}dx}| \leq \int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |\cdot |e^{-2\pi xn}|dx}=\int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |dx$, (41)
так как $|e^{-2\pi xn}|=1$.
На основании (41):
$| R_s(n))| \leq \int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |dx \leq \prod_{i=1}^{s} \max |f_i(x)|$. (42)
На основании (40):
$\max |f_i(x)|=\max |\Sigma_{m=1}^{[n^{1/k_i}]}{e^{2\pi xm^{k_i}}} | \leq \Sigma_{m=1}^{[n^{1/k_i}]}|{e^{2\pi xm^{k_i}}}|=[n^{1/k_i}]$, (43)
где $[A]$ - целая часть числа $A$),
так как $|e^{2\pi xm^{k_i}}|= 1$.
Следовательно, на основании (42) и (43) мы получаем предварительную оценку:
$| R_s(n)| \leq \prod_{i=1}^{s} \max |f_i(x)| <<n^{\Sigma_{i=1}^{s}{1/k_i}}$. (44)
Смотри условие (38).

Теперь сделаем более точную верхнюю оценку количества неотрицательных решений уравнения (37).
На основании (39):
$| R_s(n))|=|\int_{0}^{1} {\prod_{i=1}^{s}f_i(x) \cdot e^{-2\pi xn}dx}| \leq \int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |\cdot |e^{-2\pi xn}|dx}= \int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |dx$, (45)
так как $|e^{-2\pi xn}|=1$.
На основании (45) и неравенства Гельдера:
$| R_s(n))| \leq \int_{0}^{1} |{\prod_{i=1}^{s}f_i(x) |dx \leq (\int_{0}^{1} {|f_1(x)|^2dx)^{1/2} \cdot (\int_{0}^{1} {|f_2(x)...f_s(x)|^2dx})^{1/2} \leq (\int_{0}^{1} {|f_1(x)|^2dx)^{1/2})$ $ \cdot (\int_{0}^{1} {|f_2(x)|^4dx})^{1/4} \cdot (\int_{0}^{1} {|f_3(x) ...f_s(x)|^4dx})^{1/4} $ $\leq... \leq (\int_{0}^{1} {|f_1(x)|^2dx)^{1/2}) \cdot (\int_{0}^{1} {|f_2(x)|^4dx})^{1/4} \cdot... \cdot (\int_{0}^{1} {|f_{s-1}(x)|^{2^{s-1}}dx})^{1/2^{s-1}} \cdot (\int_{0}^{1} {|f_{s}(x)|^{2^{s-1}}dx})^{1/2^{s-1}}$. (46)
Используя (46), лемму Хуа и обозначив $N_i=n^{1/k_i}$ получим:
$| R_s(n))| <<N_1^{(1+\epsilon_1)/2} \cdot N_2^{(2+\epsilon_2)/4} \cdot ...\cdot N_{s-1}^{(2^{s-1}-s+1+\epsilon_{s-1})/2^{s-1}} \cdot N_{s}^{(2^{s-1}-s+1+\epsilon_{s-1})/2^{s-1}}=$ $n^{\Sigma_{i=1}^{s-1}{(2^{i}-i+\epsilon_{i})/2^{i}k_i+(2^{s-1}-s+1+\epsilon_{s})/2^{s-1}k_s} $. (47)
Если преобразовать оценку (47) и сравнить с (44):
$n^{\Sigma_{i=1}^{s-1}{(2^{i}-i+\epsilon_{i})/2^{i}k_i+(2^{s-1}-s+1+\epsilon_{s})/2^{s-1}k_s}} =$ $ n^{\Sigma_{i=1}^{s-1}{(1-(i+\epsilon_i)/2^i)1/k_i}+{(1-(s-1+\epsilon_s)/2^{s-1})1/k_i}} < n^{\Sigma_{i=1}^{s}{1/k_i}}$, (48)
то на основании (48) становится ясно, что оценка (47) более точная.

Теперь рассмотрим верхнюю оценку количества неотрицательных решений уравнения:
$a_1x_1^{k_1}+a_2x_2^{k_2}+...+a_sx_s^{k_s}=n$, (49)
где все $x_i$ - неотрицательные числа, все $a_i$ - натуральные, а $n$ -большое натуральное число.
Верхняя оценка количества решений уравнения (49) при больших $n$ равна:
$ R_s(n)=1/\prod_{i=1}^{s}{a_i} \cdot (n^{\Sigma_{i=1}^{s-1}{(2^{i}-i+\epsilon_{i})/2^{i}k_i+(2^{s-1}-s+1+\epsilon_{s})/2^{s-1}k_s})$, (50)
т.е равна верхней оценке количества неотрицательных решений уравнения (47) при больших $n$, деленной на произведение коэффициентов уравнения (49).
Это связано с тем, что при переборе вариантов решений значение переменной $x_i^{i}$ в уравнении (49) меняется с шагом равным значению $a_i$, т.е. общее количество шагов перебора вариантов решения уменьшается на произведение коэффициентов уравнения (49) по сравнению с количеством шагов перебора для уравнения (37).

[vicvolf]

Условие (38) можно усилить:
$1 \leq k_1 \leq k_2 \leq .....\leq k_s$.

Проведем анализ полученных результатов.

Для $s=2$ на основании (47) получим:
$R^{+}_2(n) << n^{1/2(1/k_1+1/k_2)+\epsilon1}$, (51)
где $\epsilon1$ - малое действительное положительное число.
При $k_1=k_2=k$ на основании (51) получаем:
$R^{+}_2(n) << n^{1/k+\epsilon1}$. (52)
Обратим внимание, что формула (52) совпалает с формулой (30), что говорит о достаточно высокой точности формулы (47).

Для $s=3$ на основании (47) получим:
$R^{+}_3(n) << n^{1/2(1/k_1+1/k_2+1/k_3)+\epsilon2}$, (53)
где $\epsilon2$ - малое действительное положительное число.
При $k_1=k_2=k_3=k$ на основании (51) получаем:
$R^{+}_3(n) << n^{3/2k+\epsilon2}$. (54)
Обратим внимание, что формула (54) совпалает с формулой (32), что говорит о достаточно высокой точности формулы (47).
При $k=1$ на основании (54) получаем оценку:
$R^{+}_3(n) << n^{3/2+\epsilon2}$. (55)
Сравним (55) с формулой (26) при $k=1$:
$R^{+}_3(n) << n^{2}$ (56).
Оценка (56) значительно слабее (55).

Для $s=4$ на основании (47) получим:
$R^{+}_4(n) << n^{1/2(1/k_1+1/k_2)+5/8(1/k_3+1/k_4)+\epsilon3}$, (57)
где $\epsilon3$ - малое действительное положительное число.
При $k_1=k_2=k_3=k_4=k$ на основании (57) получаем:
$R^{+}_4(n) << n^{9/4k+\epsilon3}$. (58)
Обратим внимание, что по формуле (33) получаем:
$R^{+}_4(n) << n^{2/k+\epsilon4}$. (59)
Оценка (59) немного лучше оценки (58).
Однако, по формуле (26) при $k=1$ получим:
$R^{+}_4(n) << n^{3/k}$, что значительно хуже (58).

Для $s=5$ на основании (47) получим:
$R^{+}_5(n) << n^{1/2(1/k_1+1/k_2)+5/8(1/k_3)+13/16(1/k_4+1/k_5)+\epsilon5}$, (60)
где $\epsilon5$ - малое действительное положительное число.
При $k_1=k_2=k_3=k_4=k_5=k$ на основании (60) получаем:
$R^{+}_5(n) << n^{13/4k+\epsilon5}$. (61)
По формуле (26) при $k=1$ получим:
$R^{+}_5(n) << n^{4}$, что значительно хуже (61) при $k=1$.
По формуле (27) при $k=2$ получим:
$R^{+}_5(n) << n^{3/2}$. (62)
По формуле (61) при $k=2$ получим:
$R^{+}_4(n) << n^{13/8+\epsilon5}$. (63)
Оценка (63) немного хуже оценки (62).

При этом надо учитывать, что формула (47) в отличие от остальных справедлива при различных значениях $k_i$.

[vicvolf]

Теперь немного поговорим об однородных диофантовых уравнениях, а потом вернемся к КМ.

Сначала рассмотрим самый простой случай:
$x^k-y^k=0$. (64)
Ясно, что данное уравнение имеет решения: $x=y$ и поэтому в области $A^2$, где $A=1,…N$, имеет:
$R^{+}_2 (N)=N$ - натуральных решений (независимо от $k$).

Однородное уравнение:
$x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k=0$ (65)
имеет решения: $x_1=y_1$, $x_2=y_2$ и поэтому в области $A^4$, где $A=1,…N$, имеет $N^2$ - таких натуральных решений.
Однако, в отличие от (64) уравнение (65) еще имеет дополнительно натуральные решения, в случае если $x_1 \not = y_1$, $x_2 \not = y_2$.
Например, если $x_1=a,y_1=b$, то натуральными решениями будут симметричные значения $x_2=b,y_2=a$, где $a,b$- натуральные.
Если $a>b$, то таких натуральных решений в области $A^4$, где $A=1,…N$, будет число сочетаний $C_N^2$ и столько же натуральных решений будет, если $b>a$.
Таким образом, в области $A^4$, где $A=1,…N$, уравнения (2) будет иметь $2C_N^2=N(N-1)$ дополнительных натуральных решений.
Поэтому общее число натуральных решений уравнения (65) в области $A^4$, где $A=1,…N$, будет:
$R^{+}_4 (N)=N^2+N(N-1)=2N^2-N=O(N^2)$ (66)

Теперь рассмотрим однородное уравнение вида:
$x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+x_3^k-y_3^k+x_4^2-y_4^k=0$. (67)
Оно имеет решения: $x_1=y_1,x_2=y_2,x_3=y_3,x_4=y_4$ и поэтому в области $A^8$, где $A=1,…N$, имеет $N^4$ - таких натуральных решений.
Однако, уравнения (67) имеет еще дополнительные решения.
Если $x_1=y_1=a,x_2=y_2=b$, где $a,b$-фиксированные натуральные, а $x_3 \not =y_3,x_4 \not = y_4$, то уравнение (4) имеет, как было показано для уравнения (2), $N(N-1)$ таких дополнительных натуральных решений.
Аналогичное количество натуральных решений будет в случае, если $x_1=y_1=a,x_3=y_3=b$, где $a,b$-фиксированные натуральные, а $x_2 \not =y_2,x_4 \not =y_4$. Всего таких случаев - $C_4^2$. Поэтому будет $ C_4^2N(N-1)$ дополнительных натуральных решений.
Теперь надо учесть, что натуральные $a, b$ каждое в отдельности могут принимать $N$ натуральных значений. Поэтому количество дополнительных натуральных решений будет $ C_4^2N(N-1)N^2$ .
Также надо учесть дополнительные натуральные решения уравнения (4) в случае когда $x_1 \not = y_1, x_2 \not = y_2, x_3 \not = y_3, x_4 \not = y_4$. Таких дополнительных натуральных решений будет, как было показано для уравнения (2), $(2C_N^2) (2C_N^2)=N^2(N-1)^2$.
Таким образом, всего у уравнения (67) будет $C_4^2N(N-1)N^2+ N^2(N-1)^2$ дополнительных натуральных решений.
Следовательно, однородное уравнения (67) будет иметь следующее общее количество натуральных решений в области $A^8$ (где $A=1,…N$):
$ R^{+}_8 (N)=N^4+ C_4^2N(N-1)N^2+ N^2(N-1)^2=8N^4-8N^3+N^2=O(N^4)$. (68)

Теперь рассмотрим общий случай однородного уравнения данного вида:
$x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+…+x_{2^{j-1}}^{k}-y_{2^{j-1}}^{k}=0$. (69)
Оно имеет решения: $x_1=y_1,x_2=y_2,…x_{2^{j-1}} =y_{2^{j-1}} $ и поэтому в области $A^{2^j}$, где $A=1,…N$, имеет $ N^{2^{j-1}} $ - таких натуральных решений.
Уравнение (69) имеет также дополнительные натуральные решения в данной области.
Если $x_1 =y_1=a_1,…x_{2^{j-1}-2} =y_{2^{j-1}-2} =a_{2^{j-1}-2} $, где $a_1,…a_{2^{j-1}-2} $-фиксированные натуральные, а $x_{2^{j-1}-1} \not=y_{2^{j-1}-1}, x_{2^{j-1}} \not =y_{2^{j-1}} $, то уравнение (69) имеет, как было показано для уравнения (68), $N(N-1)$ дополнительных натуральных решений. Если учесть, что таких случаев (когда 2 переменные не равны, а остальные попарно равны) будет $C^2_{2^{j-1}}$. Поэтому будет $ C^2_{2^{j-1}}N(N-1)$ таких дополнительных натуральных решений.
Надо учесть, что натуральные $ a_1, … a_{2^{j-1}-2} $ каждое в отдельности могут принимать $N$ натуральных значений. Поэтому количество таких дополнительных натуральных решений будет $ C^2_{2^{j-1}}N(N-1)N^{2^{j-1}-2}$ .
Теперь надо учесть случай, когда 4 переменные попарно не равны, а остальные попарно равны. Рассматривая аналогично предыдущему, мы получаем в этом случае $ C^4_{2^{j-1}}N^2(N-1)^2 N^{2^{j-1}-4}$ дополнительных натуральных решений и.т.д.
Последний случай, когда все переменные попарно не равны. Рассматривая аналогично, в этом случае мы получаем: $N^{2^{j-2}}(N-1) ^{2^{j-2}}$ дополнительных натуральных решений.
Следовательно, однородное уравнение (69) будет иметь следующее общее количество натуральных решений в области $A^{2^j}$, (где $A=1,…N$):
$ R^{+}_{2^j }(N)= N^{2^{j-1}}+\Sigma_{i=1}^{j-1} C_{2^{j-1}}^{2^i} N^{2^{i-1}} (N-1) ^{2^{i-1}}N^{2^{j-1}-2^i}$$= N^{2^{j-1}}+\Sigma_{i=1}^{j-1} C_{2^{j-1}}^{2^i}(N-1)^{2^{i-1}} N^{2^{j-1}-2^{i-1}}=O(N^{2^{j-1}})$. (70)

Знаю, что среди участников форума многие интересуются диофантовыми уравнениями. Большая просьба.
Посмотрите, пожалуйста, количество натуральных решений уравнения (69). Может я учел не все решения?

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1058162 писал(а):

Поэтому общее число натуральных решений уравнения (65) в области $A^4$, где $A=1,…N$, будет:
$R^{+}_4 (N)=N^2+N(N-1)=2N^2-N=O(N^2)$ (66)

Данное утверждение не доказано, поскольку выше указаны только некоторые решения уравнения, но не обосновано, что нет других решений.

[vicvolf]

Да, действительно в (66) не учтены все варианты перестановок. В формулах (68) и (70) также учтены не все возможные виды перестановок в решениях, не говоря уже о других представлениях больших значений $n$, как суммы $k$ -степеней.

Отсюда понятно, как сложно оценить сверху все количество решений данного типа уравнений. Однако, Круговой метод Харди-Литтлвуда дает такую возможность.

Рассмотрим данное однородное уравнение:
$x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+…+x_{2^{j-1}}^{k}-y_{2^{j-1}}^{k}=0$, (71)
где $1 \leq x_i, y_i \leq N$.

Количество натуральных решений уравнения (71) определяется интегралом (Р. Вон "Метод Харди-Литлвуда", М, Мир, 1988, 184, стр 20):
$R^{+}_{2^j}(N)=\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^j}}dx$. (72)

Поэтому на основании леммы Хуа (о которой говорилось выше) справедлива следующая верхняя оценка для количества натуральных решений уравнения (71):
$\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^j}dx} <<N^{2^j-j+\epsilon}$, (73)
где $\epsilon$- малое действительное положительное число и $1 \leq j \leq k$.
Случай $j>k$ рассмотрим при решении более общего уравнения.

Рассмотрим более общее однородное уравнение:
$x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+…+x_{s}}^{k}-y_{s}^{k}=0$, (74)
где $1 \leq x_i, y_i \leq N$.

Количество натуральных решений уравнения (74) определяется интегралом (Р. Вон "Метод Харди-Литлвуда", М, Мир, 1988, 184, стр 73):
$R^{+}_{2s}(N)=\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2s}}dx$. (75)
Поэтому для оценки количества натуральных решений уравнения (74) необходимо сделать оценку интеграла (75).

Ранее уже говорилось (23), что количество представлений числа $n$ в виде сумм $s$ членов $k$ степеней натуральных чисел определяется по формуле:
$R_s^p(n)=\int_{0}^1{f(x)^s e^{-2\pi x n}}dx=\Gamma(1+1/k)\Gamma(s/k)^{-1}n^{s/k-1}\Sigma(n)+O(n^{s/k-1-\delta})$ , (76)
где $f(x)= \Sigma_{m=1}^{[n^{1/k}]} {e^{2\pi x m^k}}$, $\Gamma$ -гамма функция, $\Sigma(n)$ -сумма ряда, $\delta$ - малое положительное действительное число и $s>2^k$.

Сделаем оценку величины $R_s^p(n)$ на основании формулы (76):
$|R_s^p(n)|= \int_{0}^1{|f(x)|^s |e^{-2\pi x n}}|dx=$ $|\Gamma(1+1/k)\Gamma(s/k)^{-1} n^{s/k-1}\Sigma(n)+O(n^{s/k-1-\delta})|<< n^{s/k-1+\epsilon}$, (77)
так как $\Gamma(1+1/k)\Gamma(s/k)^{-1}<1, \Sigma(n) <<n^{\epsilon }$.

Учитывая, что $|e^{-2\pi x n}}|=1$ и $N=[n^{1/k}]$ на основании (77) получаем следующую оценку:
$\int_{0}^1{|f(x)|^s dx}<< n^{s/k-1+\epsilon}= N^{s-k+\epsilon}$, (78)
при $s>2^k$.

Из формулы (78) вытекает искомая оценка:
$\int_{0}^1{|f(x)|^{2s} dx}<< N^{2s-k+\epsilon}$, (79)
при $s>2^{k-1}$.

Таким образом, формула (78) дает оценку сверху для количества натуральных решений уравнения (74) при $s>2^{k-1}$.
Поэтому при фиксированном значении $s$ по формуле (79) можно получить оценку решений при $k<1+log_2 s$.

Интересно получить оценку количества натуральных решений уравнения (74) при $k \geq 1+log_2 s$.

Сделаем эту оценку на основании леммы Хуа.
Воспользуемся тем, что четное число можно представить как сумму степеней двойки с натуральными показателями $j_1>…>j_t \geq 1$:
$2s=2^{j_1}+…+2^{j_t}$, (80)

На основании (80) и неравенства Коши-Буняковского (Шварца) получим:
$\int _{0}^{1} {}f(x)|^{2s}dx}=\int _{0}^{1} {|f(x)|^{2^{j_1}} \cdot…\cdot |f(x)|^{2^{j_t}} \leq (\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^{j_1+1}}dx}^{1/2} \cdot (\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^{j_2+2}}dx}^{1/4} \cdot…\cdot (\int_{0}^{1} {|f(x)|^{2^{j_t+t}}dx}^{1/2^{t-1}}$. (81)

На основании (81) и леммы Хуа получим:
$(\int_{0}^{1}|f(x)|^{2^{j_i+i}}dx)^{1/2^i} <<N^{2^{J_I}-(j_i+i)/2^i+\epsilon/2^i}$. (82)

Поэтому на основании (81), (82) при $k \geq j_1=1+log_ S$ получим:

$R^{+}_{2s}(N)=\int _{0}^{1} {|f(x)|^{2s}dx} << N^{\Sigma_{i=1}^{t-1}(2^{j_i}-(j_i+i)/2^i)+\epsilon/2^i+2^{j_t+1}-(j_t+t)/2^{t-1}+\epsilon/2^{t-1}}=$ $N^{2s+\epsilon-\Sigma_{i=1}^{t-1}{(j_i+i)/2^i+(j_t+t)/2^{t-1})}$ . (83)

Например, при $s=15,2s=30=2^4+2^3+2^2+2$, т.е. $j_1=4, j_2=3,j_3=3,j_4=1$ при $k \geq j_1=4$ на основании (83) получим:
$R^{+}_{30}(N) << N^{30+\epsilon-5}=N^{25+\epsilon}$. (84)

Определим количество решений данного уравнения при $k<4$ на основании формулы (79):
$\int _{0}^{1}{|f(x)|^{30}dx}<<N^{30-k+\epsilon$. (85)

Сравнивая с (85) с (84) видно, при меньших значениях $k$ количество решений уравнения больше, что соответствует истине.

Теперь рассмотрим уравнение c разными показателями степеней вида:
$x_{11}^{k_1}+...+x_{s_1}^{k_1}+...+x_{l1}^{k_l}+...+x_{ls_l}^{k_l}=y_{11}^{k_1}+...+y_{s_1}^{k_1}+...+y_{l1}^{k_l}+...+y_{ls_l}^{k_l}$. (86)

На основании (Р. Вона "Метод Харди-Литтлвуда" М.Мир, 1985, 184 с. стр. 112) количество решений уравнения (86) соответствует интегралу:
$\int_{0}^{1} {|f_{k_1}(x)|^{2s_1} \cdot ...\cdot |f_{k_l}(x)|^{2s_l}dx}$. (87)

На основании (87) и неравенства Коши-Буняковского (Шварца) получим:
$\int_{0}^{1} {|f_{k_1}(x)|^{2s_1} \cdot ...\cdot |f_{k_l}(x)|^{2s_l}dx} \leq (\int_{0}^{1} |f_{k_1}(x)|^{4s_1})^{1/2} \cdot ...$ $\cdot (\int_{0}^{1} {|f_{k_l}|^{{2s_l }^l}dx})^{1/2^{l-1}$. (88)

Далее в зависимости от величин $k_i, s_i$ для оценки выражений в скобках (88) используется либо формула (79), либо формула (83).

Учитывая сказанное выше для повышения точности оценки в формуле (88) рекомендается сомножители располагать в порядке:
$s_1 \geq s_2 \geq ...\geq s_l$. (89)

Например, дадим оценку количества натуральных решений уравнения:
$x_1^5+x_2^4+x_3^4+x_4^3+x_5^3+x_6^3=y_1^5+y_2^4+y_3^4+y_4^3+y_5^3+y_6^3$. (90)

Для оценки количества натуральных решений уравнения (90) оценим интеграл:
$R^{+}_12(N)=\int_{0}^{1} {|f_3(x)|^6 \cdot |f_4(x)|^4 \cdot |f_5(x)|^2 dx} \leq $ $(\int_{0}^{1} |f_3(x)|^12 dx})^{1/2} \cdot (\int_{0}^{1} {|f_4(x)|^{16} dx})^{1/4} \cdot (\int_{0}^{1} |f_5(x)|^8 dx})^{1/4}$. (91)

Обратим внимание, что в (91) сомножители указаны в порядке (89).

Тогда на основании (83) получим:

$\int_{0}^{1} |f_3(x)|^{12} dx<<N^{12+\epsilon-(3+1)/2-(2+2)/2}=N^{8+\epsilon}$, (92)
при $j_1=3 \leq k_1=3$.

$\int_{0}^{1} |f_4(x)|^{16} dx<<N^{16+\epsilon-4}=N^{12+\epsilon}$, (93)
при $j_1=4 \leq k_2=4$.

$\int_{0}^{1} |f_5(x)|^8 dx<<N^{8+\epsilon-3}=N^{5+\epsilon}$, (94)
при $j_1=3 \leq k_3=5$.

На основании (91), (92), (93), (94) получим:
$R^{+}_12(N)=\int_{0}^{1} {|f_3(x)|^6 \cdot |f_4(x)|^4 \cdot |f_5(x)|^2 dx}<<N^{8/2+12/4+5/4+\epsilon}=N^{8+1/4+\epsilon}$. (95)

Если в данном примере сомножители переставить местами, то для количества натуральных решений уравнения (90) получим оценку:
$R^{+}_12(N)=\int_{0}^{1} {|f_5(x)|^2 \cdot |f_4(x)|^4 \cdot |f_3(x)|^6 dx} \leq $ $(\int_{0}^{1} |f_5(x)|^4 dx})^{1/2} \cdot (\int_{0}^{1} {|f_4(x)|^{16} dx})^{1/4} \cdot (\int_{0}^{1} |f_3(x)|^24 dx})^{1/4}$. (96)

$\int_{0}^{1} |f_5(x)|^{4} dx<<N^{4+\epsilon-2}=N^{2+\epsilon}$, (97)
при $j_1=3 \leq k_1=3$.

$\int_{0}^{1} |f_4(x)|^{16} dx<<N^{16+\epsilon-4}=N^{12+\epsilon}$, (98)
при $j_1=4 \leq k_2=4$.

$\int_{0}^{1} |f_5(x)|^8 dx<<N^{8+\epsilon-3}=N^{5+\epsilon}$, (94)

при $j_1=3 \leq k_3=5$.

На основании (91), (92), (93), (94) получим:
$R^{+}_{12}(N)=\int_{0}^{1} {|f_5(x)|^2 \cdot |f_4(x)|^4 \cdot |f_3(x)|^6 dx} \leq $ $(\int_{0}^{1} |f_5(x)|^4 dx})^{1/2} \cdot (\int_{0}^{1} {|f_4(x)|^{16} dx})^{1/4} \cdot (\int_{0}^{1} |f_3(x)|^24 dx})^{1/4}$. (96)

На основании формулы (83) получим:

$\int_{0}^{1} |f_5(x)|^{4} dx<<N^{4+\epsilon-2}=N^{2+\epsilon}$, (97)
при $j_1=3 \leq k_1=5$.

$\int_{0}^{1} |f_4(x)|^{16} dx<<N^{16+\epsilon-4}=N^{12+\epsilon}$, (98)
при $j_1=4 \leq k_2=4$.

Так как $j_1=4 > k_3=3$, то формулу (83) использовать для оценки $\int_{0}^{1} |f_3(x)|^{24} dx$ нельзя.

Так как в данном случае выполняется неравенство: $S=12>2^{k-1}=2^2=4$, то можно использовать формулу (79):

$\int_{0}^{1} |f_3(x)|^{24} dx << N^{24-3+\epsilon}=N^{21+\epsilon}$. (99)

На основании (96), (97), (98), (99) получим:

$R^{+}_{12}(N)=\int_{0}^{1} {|f_5(x)|^2 \cdot |f_4(x)|^4 \cdot |f_3(x)|^6 dx} <<$ $N^{2/2+\epsilon/2+12/4+\epsilon/4+21/4+\epsilon/4}=N^{9+1/4+\epsilon}$. (100)

Если сравнить оценку (100) с оценкой (95), то оценка (95), которая соответствует условию (89), является более точной.

[vicvolf]

Теперь рассмотрим аддитивное однородное уравнение с целыми коэффициентами:
$a_1x_1^k+...+a_sx_s^k=0$, (102)
где $k$ -натуральное число, а все $a_i$ -целые числа.
Это интересно, так как к данному классу уравнений относится уравнение Ферма:
$x_1^k+x_2^k-x_3^k=0$. (103)

С помощью Кругового метода метода Харди-Литтлвуда можно доказать следующую теорему (теорема 9.1 на стр. 128 Вон. Р. Метод Харди-Литлвуда. М.Мир, 1985).

Теорема. Пусть $k \geq 2$ и $s_0$, как в теореме Виноградова (см. ниже) и пусть $s \geq min (s_0, 2^k+1)$ и $s \geq 4k^2-4k+1$. Предположим также, что когда $k$ четное, не все целые числа $a_1,...a_s$ имеют один знак.
Тогда уравнение (102) имеет нетривиальные решения в целых числах $x_1,...x_s$.

Для нечетного $k$ также можно считать (если необходимо, заменяя $x_i$ а $-x_i$), что не все $a_i$ имеют один знак.

Теорема Виноградова дает $s_0<2^k+1$ при $k \geq 11$, а при $k<11$ начение $s_0 \geq 2^k+1$.
Поэтому при $k<11$ должно выполняться $s \geq 2^k+1$ и $s \geq 4k^2-4k+1$.
Например, при $k=2, s \geq 15$, при $k=3,s \geq 34$ и только при $k \geq 8$ выполняется неравенство $2^k+1>4k^2-k+1$ и $s \geq 2^k+1$ и поэтому $s \geq 2^k+1$.

Далее будет показано, что уравнение (102) имеет, при выполнении данных условий, бесконечное число решений в натуральных числах, т.е данная теорема является некоторым обобщением ВТФ

На основании кругового метода Харди-Литтлвуда получаем, что для количества натуральных решений уравнения (102) справедлива формула:
$R^{+}_s(N)=\Sigma \cdot J(N) + O(N^{s-k+\epsilon})$, (104)
где $\Sigma $ -сумма сходящегося ряда, а
$N^{s-k}<<J(N)<<N^{s-k+\epsilon}$. (105)

На основании формул (104) и (105) получаем:
$N^{s-k}<<R^{+}_s(N)<<N^{s-k+\epsilon}$. (106)
Верхняя оценка в (106) справедлива уже при $s>2^k$.

Оценки количества натуральных решений (106) дополняет теорему 9.1 и говорят, что количество натуральных решений уравнения (102), при условиях данной теоремы, находятся в указанном диапазоне.

Это конечно не значит, что уравнения с меньшим значением $s$ не могут иметь бесконечное количество решений.

Например, уравнение:
$x_1^k+x_2^k-Dz_3^k=0$ (107)
имеет бесконечное число решений при $D=2n^k$, которые равны: $x_1=x_2=nx_3$.

Другими примерами аддитивных однородных уравнений, имеющих бесконечное число решений при небольших значениях $s$, являются уравнения (64) и (65).

Обратим внимание, что на основании (78):
$N^{s-k}<<\int_{0}^{1} {|f(x)|^s dx}<<N^{s-k+\epsilon$. (108)

Из сравнения (108) и (106) получим:
$R^{+}_s(N) \sim \int_{0}^{1} {|f(x)|^s dx}$. (109)

[vicvolf]

На стр. 32 (Р. Вон Метод Харди-Литтлвуда, М, Мир, 1985, 184 с.) дается следующая оценка для интеграла (109):
$\int_{0}^{1} {|f(x)|^s dx}>> \max (N^{s-k}, N^{s/2})$. (110)

Из (110) вытекает:
$\int_{0}^{1} {|f(x)|^s dx}>> N^{s-k}$, (111)
если $k<s/2$
и
$\int_{0}^{1} {|f(x)|^s dx}>> N^{s/2}$, (112)
если $k \geq s/2$.

Так как (109) справедлива при условиях теоремы Виноградова:
$s \geq \min (s_0,2^k+1)$ и $s \geq 4k^2-4k+1$, (113)
то надо наложить условия (113) на условия (111) и (112).

При $1<k<8$ на основании (113):
$s \geq 4k^2-4k+1=t(k)$ или $k \leq t^{-1}(s)$ (114)
и выполняется $k \leq t^{-1}(s)<s/2$. (115)
Поэтому на основании (115) при $k<8$ выполняется оценка (111).

При $8 \leq k \leq 11$ на основании (113):
$s > 2^k$ или $k < \log_2(s)$ (116)
и выполняется $k < \log_2(s) <s/2$. (117)
Поэтому на основании (117) при $8 \leq k \leq 11$ также выполняется оценка (111).

При $k \geq 11$ по теореме Виноградова $s \geq s_0$, где $s_0 \sim 4k^2 \ln(k) > 4k^2$. (118)
На основании (118) $s>4k^2$ или $k<s/2$. (119)
Поэтому на основании (119) при $k \geq 11$ также выполняется оценка (111).

Оценки (115), (117) и (119) подтверждают справедливость нижней оценки в выражениях (106) и (108) для уравнения (102) при $k \geq 2$.

[vicvolf]

Уточнение

При $k \geq 11$ по теореме Виноградова $s \geq s_0$, где $s_0 \sim 4k^2 \ln(k) > 4k^2$. (118)
На основании (118) $s>4k^2$ или $k<\sqrt {s}/2<s/2$ при $s \geq 2$. (119)
Поэтому на основании (119) при $k \geq 11$ также выполняется оценка (111).

Оценки (115), (117) и (119) подтверждают справедливость нижней оценки в выражениях (106) и (108) для уравнения (102) при $k \geq 2$.

[vicvolf]

Теперь рассмотрим следующее аддитивное алгебраическое диофантово уравнение с разными показателями степеней:
$a_{11}x_{11}^{k1}+...+a_{s1}x_{s1}^{k_1}+...+a_{l1}x_{l1}^{k_l}+...+a_{ls_l}^{k_l}=0$, (120)
где $k_1,...k_s$ - натуральные числа, $a_{ij}$ - целые числа, среди которых есть с разными знаками, $x_{ij}$-принимают натуральные значения.

Мы не будем рассматривать вопрос разрешимости уравнения (120) по аналогии с теоремой 9.1 (на стр. 128 Вон. Р. Метод Харди-Литлвуда. М.Мир, 1985), так как в случае отсутствия натуральных решений их количество равно 0 и верхняя оценка количества натуральных решений не изменится. Нас будет интересовать только верхняя оценка количества натуральных решений уравнения (120), в случае если $1 \leq x_{ij} \leq N$.

Следуя Вону и Виноградову и на основании (109) для количества натуральных решений уравнения (120) (при $1 \leq x_{ij} \leq N$) справедливо соотношение:
$R_s^{+}(N) \sim \int_{0}^{1} {|f_{k_1}(x)|^{s_1} \cdot ...\cdot |f_{k_l}(x)|^{s_l} dx}$, (121}
где $s_1+...+s_l=s$.

На основании неравенства Коши_Буняковского (Шварца) и (121) получим:
$\int_{0}^{1} {|f_{k_1}(x)|^{s_1} \cdot ...\cdot |f_{k_l}(x)|^{s_l} dx} \leq ((\int_{0}^{1} {[f_{k_1}(x)|^{2s_1}dx})^{1/2} \cdot ...\cdot (\int_{0}^{1}|f_{k_l}(x)|^{2^{l-1}s_l} dx})^{1/2^{l-1}}$. (122)

Далее для оценки (122) в зависимости от значения величин $k_i,s_i$ в выражениях в скобках используется либо формула (79), либо формула (83).

Учитывая сказанное выше рекомендуется сомножители в выражении (122) располагать в порядке:
$s_1 \geq ... \geq s_l$. (123)

Например, рассмотрим оценку сверху для количества натуральных решений диофантова уравнения:
$x_1^3+x_2^3+x_3^3-x_4^2=0$, (124)
если $1 \leq x_i \leq N$.

Вообще уравнение (124) в соответствии с Серпинским "Решения уравнений в целых числах" (стр 61) имеет бесконечное число решений в натуральных числах, если значения $x_i$ не ограничено.

На основании формул (121), (122) для количества натуральных решений уравнения (124) (при $1 \leq x_i \leq N$) справедливо соотношение:
$R_4^{+}(N) \sim \int_{0}^{1} {|f_3(x)|^3 \cdot |f_2(x)| dx} \leq (\int_{0}^{1} {|f_3(x)|^6 dx})^{1/2} \cdot (\int_{0}^{1}|{f_2(x)|^2 dx})^{1/2}$. (125)

Обратим внимание, что в (125) сомножители указаны в порядке (123).
Тогда на основании (83) получим:
$\int_{0}^{1} {|f_3(x)|^6 dx}<<N^{7/2+\epsilon}$, (126)
при $j_1=2<k_1=3$.
$\int_{0}^{1} {|f_2(x)|^2 dx}<<N^{1+\epsilon}$, (127)
при $j_1=1<k_2=2$.

На основании (125), (126) и (127) получим:
$R_4^{+}(N) <<N^{(7/2+\epsilon)/2} \cdot N^{(1+\epsilon)/2}=N^{9/4+\epsilon}$. (128)

[vicvolf]

Небольшой обзор по теме.

Исследование диофантовых уравнений проводятся в различных направлениях:
1. Нахождение условий существования решения диофантового уравнения.
2. Отыскание самого решения диофантового уравнения.
3. Оценка количества решений диофантового уравнения.
Данная работа посвящена в основном третьему направлению исследований.
Оценка количества решений алгебраических диофантовых уравнений рассматриваются над конечными и бесконечными полями и кольцами. Оценка количества решений алгебраических диофантовых уравнений над конечными полями проводится весьма успешно. Найдена оценка сверху количества решений однородного алгебраического диофантова уравнения диаганального вида с коэффициентами из конечного поля вычетов по простому модулю (Степанов С.А. , Арифметика алгебраических кривых, 1991, 185 с.)
Хуже обстоит дело с оценками количества решений алгебраических диофантовых уравнений над бесконечными полями рациональных чисел и кольцами целых чисел, так как указанные оценки носят в основном качественный, а не количественный характер.
Фалтингс (Faltings G. Endlishkeitssätzt für abenlsche Varietäten über Zahlköpern. Invent. Math.ß 1983.V.73,№3.-P. 349-366.) доказвл гипотезу Морделла о конечности числа рациональных точек на кривой рода g>1.
Метод Туэ, основанный на результатах диофантовых приближений (приближение вещественных чисел рациональными) получил свое развитие в работах Зигеля (Siegel C.L. Approximation algebraisher Zahlen. Math. Zeitschr.- 1921.-Bd 10. –S. 173-213), установивших на основе знаменитую теорему о конечности числа числа целых точек на кривой рода $g \geq 1$.
Метод Туэ был распространен Шмидтом (Schmidt W.M. Norm form equations. Ann. Math. - 1972.-V. 96. - P. 526-551.) на случай нескольких переменных, что позволило ему получить многомерное обобщение результатов Туэ о конечности числа целочисленных решений нормативного диофантового уравнения Туэ. Однако, данный результат также не является эффективным.
Многие методы теории диофантовых уравнений, в том числе метод Туэ, не являются эффективными, т.е не позволяют сделать количественный анализ решений диофантовых уравнений, поэтому разрабатывался эффективный метод, основанный на использовании нижних оценок от логарифмов алгебраических чисел. К настоящему времени этим методом получены количественные оценки для целочисленных решений ряда классических диофантовых уравнений. Бейкер (Baker A. Linear form in the logarithms of algebraic numbers. Mathematika. – 1966. –V. 13 – P. 204-216; 1967. - V. 14. P. 102-107, 220-228; 1968. – V.15. – P. 204-216.) сделал эффективные оценки для уравнения Туэ: $f(x,y)=m$.Аналогичный эффективный анализ для более общего уравнения Туэ-Малера: $f(x.y)=mp_1^{x_1}...p_s^{x_s}$, где $p_1,...,p_s$ - фиксированные числа, был проведен в работе (Спринжук В. Г. Классические диофантовы уравнения от двух неизвестных. – М.: Наука, 1982.). Другой класс диофантовых уравнений, допускающих эффективный анализ, составляют суперэллиптические уравнения: $y^s=f(x)$, где $s \geq 2$, $f$ - целочисленная функция степени $n \geq 3$. Эффективный анализ уравнения: $y^2==f(x)$ был проведен Бейкером (Baker A. Bounds for the salutations of the hyperelliptic equation. Proc. Cambr. Philos. Soc. -1969. – V. 65. – P. 439-444). Данный результат был существенно усилен Спринжуком (Спринжук В. Г. Гиперэллептическое диофантово уравнение и числа классов идеалов. Acta Arithm. – 1976. V. 30, №1. – P. 95-108). Однако, как мы видим, данный эффективный анализ сделан только для алгебраических диофантовых уравнений двух переменных.
Особняком к указанным исследованиям стоит Круговой метод Харди-Литтлвуда (КМ) (Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. – М.:Мир, 1985.), который позволяет сделать оценку сверху количества решений однородного алгебраического диофантова уравнения с целыми коэффициентами диагонального вида. Метод был существенно усилен Виноградовым (Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1972.). Однако, КМ позволяет сделать указанную оценку, когда число переменных намного превосходит степень однородного диофантова уравнения (далее мы рассмотрим это подробнее). В работе [] КМ использован для получения оценки сверху количества натуральных решений алгебраического диофантова уравнения с натуральными коэффициентами.
Поэтому представляет интерес разработка других методов, позволяющих сделать оценку снизу для количества натуральных решений однородного алгебраического диофантова уравнения с целыми коэффициентами диагонального вида, а также выполнить оценку сверху количества натуральных решений данного уравнения при небольшом количестве переменных. Этому вопросу посвящена данная работа.