Немного подумав, рассмотрел неформально распределение

и получил такое свойство:

В целом все верно. По факту вы рассмотрели случайные величины

с дискретным распределением на двух точках

и

, вот только аппарат дельта-функций здесь совершенно ни к чему. А так как по условию задачи распределения могут быть произвольными, то мы получаем таким образом необходимое условие, которому должна удовлетворять функция

:

Но это условие оказывается и достаточным для

. Вытекает это просто из того, что

, что верно в силу равенства распределений и независимости

. Что же касается однозначности, то конечно функций со свойством (1) сколько угодно много. Вы можете взять произвольную функцию двух переменных

, определенную на

, и для которой верно

. А на оставшейся области

доопределить ее равенством

. Я думаю, вы и сами сможете построить пример подходящей функции

взяв за основу предложенную вами

.