Закон сохранение энергии для уравнения синус-Гордон

[fsh2013]

Здравствуйте.
Дана задача, доказать, что для лагранжиана
$L=0.5u_t^2-0.5u_x^2+\cos(u)$
следующее выражение является уравнением сохранения энергии
$\dfrac{\partial}{\partial t}(0.5u_t^2+0.5u_x^2-\cos(u))-\dfrac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)=0$ (1)

Мои действия:
В данном случае, сохранение энергии (кажется) имеет след. вид
$\dfrac{d}{dt}(\sum\limits_{}^{}\frac{\partial L}{\partial u_t}u_t - L)=0$
Производная по t от первой слагаемой суммы
$2u_t u_{tt}$
Производная по t от второй слагаемой суммы
$u_t u_{tt}-u_x u_{xt}-u_t\sin(u)$
Итог: $u_t u_{tt}+u_x u_{xt}+u_t\sin(u)$
Но когда в (1) вычислил производные получилось по другому
$u_t u_{tt}-u_{xx} u_t+u_t\sin(u)$

Подскажите пожалуйста, где ошибка.
Спасибо.

[Cos(x-pi/2)]

(1) получается, если найти тензор энергии-импульса $T^{\mu \nu}$ и записать уравнение непрерывности $\partial_{\nu}T^{\mu \nu}=0$ для $T^{t \nu}:$

$\dfrac{\partial T^{tt}}{\partial t} + \dfrac{\partial T^{tx}}{\partial x} = 0$

[fsh2013]

Cos(x-pi/2) Спасибо большое.