Сопротивление воздуха.

[SNet]

Здравствуйте, скажите пожалуйста, как можно описать движение брошенного вверх тела (до момента падения на землю), учитывая, что сопротивление воздуха прямо пропорционально скорости движения? Я начал разбивать движение на два этапа:
1) Тело летит вверх и достигает максимальной высоты. Вектор силы сопротивления среды и ускорение свободного падения направлены против оси oy, вектор начальной скорости в направлении oy.
2) Тело падает с этой высоты на землю. Вектор силы сопротивления среды в направлении oy, вектор скорости и ускорения против оси oy.
Хотел в формулы при первом случае при проецировании $a$ заменять не на $a = -g$, а на $a = -g - a_с$, где $a_с$ - замедляющее ускорение, которое вызывает сила сопротивления среды. Очевидно, что это ускорении не постоянно, потому тут я и запутался. То есть я хотел преобразовать следующее выражение: $a = \frac{v_1 - v_0}{t}$ в $-g - a_c = \frac{-v_0}{t}$ для случая полета вверх и в $-g + a_c = \frac{-v}{t}$ для полета вниз, но дальше получается какой-то бред:

$a = \frac {v - v_0} {t}$

$t = \frac{v - v_0}{a}$

$t = t_1 + t_2$

$t_1$ - время при полете вверх и $t_2$ - время при полете вниз.

Производим преобразования:

$t_1 = \frac{-v_0}{-g - a}$

$t_2 = \frac{-v}{-g + a}$

$t = \frac{-v_0}{-g - a} + \frac {-v}{-g + a}$

Собственно, тут и тупик. Как вставить сюда меняющееся ускорение, создаваемое средой?

Pphantom:

Еще одну правку я внес сам: не надо использовать в формулах кириллицу без внешнего \text{...}

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[amon]

SNet,
А Вы дифференцировать умеете? Если да, то поглядите на 2-й закон Ньютона

$$ m\frac{d^2x}{dt^2}+\alpha\frac{dx}{dt}+mg=0. $$

Что надо продифференцировать, что бы получить $m\frac{d^2x}{dt^2}+\alpha\frac{dx}{dt}+mg$?

[SNet]

amon в сообщении #1069408 писал(а):

SNet,
А Вы дифференцировать умеете? Если да, то поглядите на 2-й закон Ньютона

$$ m\frac{d^2x}{dt^2}+\alpha\frac{dx}{dt}+mg=0. $$

Что надо продифференцировать, что бы получить $m\frac{d^2x}{dt^2}+\alpha\frac{dx}{dt}+mg$?

Если не ошибаюсь:

$ma + v + mg = 0$

П.С. разве не $-mg$ ?

[arseniiv]

Эт самое, вы не то, что надо дифференцировать написали, а само это выражение другими буквами записали, притом частично неверно (потеряли альфу). Проинтегрируйте по $t$.

SNet в сообщении #1069412 писал(а):

П.С. разве не $-mg$ ?

Смените знак у $g$, если не нравится. В векторном случае или неоднородных полях тяжести игра с минусами теряет всю привлекательность.

[amon]

SNet в сообщении #1069412 писал(а):

П.С. разве не $-mg$ ?

Мы пока летим вверх. Тогда сила тяжести и сила сопротивления направлены вниз и имеют одинаковый знак. Когда вниз полетим, ситуация поменяется

[Ky3Mu4]

Если сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости тела, то её проекция на координатную ось Oy (в системе отсчёта, связанной с землёй, где ось Oy направлена вертикально вверх) имеет вид $F_{cy}=\alpha\upsilon_{y}$, где $\alpha$ коэффициент пропорциональности. По 2-му закону Ньютона имеем $m\ddot{y}=-mg+\alpha\upsilon_{y}$ или $m\ddot{y}-\alpha\dot{y}+mg=0$. Решаете это дифференциальное уравнение и получаете зависимость координаты от времени.

[DimaM]

Ky3Mu4 в сообщении #1069460 писал(а):

Если сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости тела, то её проекция на координатную ось Oy (в системе отсчёта, связанной с землёй, где ось Oy направлена вертикально вверх) имеет вид $F_{cy}=\alpha\upsilon_{y}$, где $\alpha$ коэффициент пропорциональности.

Только с минусом.

Ky3Mu4 в сообщении #1069460 писал(а):

По 2-му закону Ньютона имеем $m\ddot{y}=-mg+\alpha\upsilon_{y}$ или $m\ddot{y}-\alpha\dot{y}+mg=0$. Решаете это дифференциальное уравнение и получаете зависимость координаты от времени.

Лучше для начала скорость от времени найти, там уравнение первого порядка, а не второго.

[Ky3Mu4]

Цитата:

Только с минусом.

Без минуса, ибо $\upsilon_{y}=\dot{y}$

[DimaM]

Ky3Mu4 в сообщении #1069462 писал(а):

Без минуса, ибо $\upsilon_{y}=\dot{y}$

С минусом. Иначе эта сила будет разгонять тело, а не тормозить.

[SNet]

Спасибо! Еще вопрос: что делать с альфой? (стоит отметить, что мне не дано ее значение)

[Ms-dos4]

SNet
Ничего, так и оставить в ответе.
P.S. Коэффициент сопротивления вообще говоря существенно зависит и от среды и от формы тела (и это только в первом порядке - далее меняется сам характер зависимости силы сопротивления от скорости).

[DimaM]

Ms-dos4 в сообщении #1069481 писал(а):

Коэффициент сопротивления вообще говоря существенно зависит и от среды и от формы тела (и это только в первом порядке - далее меняется сам характер зависимости силы сопротивления от скорости).

Замечу в скобках, что для брошенного в воздухе тела линейная зависимость не будет наблюдаться. Будет квадратичная.
Для линейной надо большие вязкости и маленькие скорости. И/или маленькие размеры.

[Ms-dos4]

DimaM
Кстати да. Линейная может сгодится для падения в жидкости, например.