функция

[Navid]

Есть ли функция, которая определяется в каждой точке числовой прямой, но стремится к бесконечности в каждой точке ?

[gris]

такую функцию для счётного всюду плотного множества точек определить легко: значение функции равно номеру точки в фиксированной нумерации. По этому множеству функция будет стремиться к бесконечности в каждой точке. А вот со всем $\mathrm {R}$ как быть?

[ИСН]

Что значит "стремится к бесконечности в каждой точке"? Предел $\infty$ в каждой точке у неё быть не может. А если это значит "неограничена в окрестности любой точки", так возьмём этот пример на всюду плотном множестве и доопределим на всех оставшихся точках как угодно.

[gris]

ИСН, позволю себе за ТС ответить: это значит, что для любой точки и для любого очень большого числа существует окрестность (проколотая, конечно), в которой функция больше этого числа. Мне кажется, что отрицание этого не совсем очевидно. Может быть, задача и состоит в строгом доказательстве невозможности бесконечного предела в каждой точке?

[Navid]

Что я имел в виду в этой проблеме то, что "Гри" заявил, действительно я не думаю, что это было просто примером или опровергнуть это ...

[gris]

Ой, это же олимпиадный раздел, то есть можно не опасаться санкций за решение. Ну и, конечно, олимпиадникам оно достаточно просто. Я бы рассмотрел функцию на отрезке и воспользовался несчётностью действительных чисел и предельной точкой для противоречия.

(Оффтоп)

Отдельное спасибо Navid за правильное прочтение моего ника Наконец-то!

[ProPupil]

Можно рассмотреть следующую функцию:

$f(x)=0$ в иррациональных точках $x$.
$f(x) = q$ в рациональных точках $x = \frac{p}{q}$, где эта дробь несократима.

[Navid]

спасибо, теперь есть функция $ f $ таким образом, что определяется на каждый точек числовой прямой annd для всех вещественных числа $a$, у нас есть $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ ?

[gris]

нет такой функции. Предположите, что она есть и рассмотрите эту функцию на произвольном отрезке. Я уж намекал выше

[Navid]

Не могли бы вы написать явно доказательство? , Я думаю, что я сейчас нахожусь и слеп, и не могу понять! , Примите мои извинения.

[gris]

Я боюсь, что слишком усложняю. уже несколько человек высказались, что то, что такой функции не существует, очевидно. Вероятно, очевидность связана или с компактностью, или с непрерывностью $\mathbb R$. Но я никак не догадаюсь, да и сил нет после затянувшегося лета.
Моё доказательство немножко неуклюжее. Предположим, что функция, определённая в каждой точке $\mathbb R$ и имеющая в каждой точке бесконечный предел, существует. Рассмотрим её на произвольном отрезке, скажем, $[0,1]$. Рассмотрим множество полуотрезков $(n,n+1], n\in \mathbb Z$. Каждое значение функции принадлежит ровно одному полуотрезку. Предположим, что для каждого полуотрезка значений функции существует лишь конечное число значений аргумента, значения функции для которых принадлежат этому полуотрезку. Но в этом случае множество значений аргумента можно пересчитать. То есть получается, что множество действительных чисел на отрезке счётно, что противоречит принятым представлениям об их несчётности. То есть, существует полуотрезок $(m,m+1]$, для которого существует бесконечное число значений аргумента на отрезке $[0,1]$, значения функции для которых принадлежат полуотрезку $(m,m+1]$. У бесконечного множества точек на отрезке существует предельная точка. Рассмотрим предел функции в этой точке. Он не может быть бесконечным, так как в любой окрестности этой точки существуют точки, в которых значения функции принадлежат полуотрезку $(m,m+1]$, где $m$, напомню, фиксированно. Вот и получили точку, в которой предел не равен бесконечности.
Конечно, тому, кто исповедует счётность множества действительных чисел, доказательство не понравится. Но я на самом деле хотел бы увидеть более очевидное, чем это, хотя и оно, мне кажется, никакой сложности не представляет.