Устойчивое равновесие кубика в воде.

[Monster]

Решал следующую задачу:
Кубик, сделанный из материала, плотность которого вдвое меньше плотности воды, плавает в воде. Какое из двух показанных положений кубика будет устойчивым ?
Первое положение: водная поверхность проходит через диагональ основания куба.
Второе положение: водная поверхность параллельна основанию куба.

Логика рассуждений следующая:
1. Чтобы равновесие кубика было устойчивым необходим минимум потенциальной энергии всей системы.
2. Ясно, что потенциальная энергия кубика в обоих состояниях одинакова, так как объём вытесненной воды одинаков и центры кубиков находятся на поверхности воды.
3. Следовательно, нам нужно отслеживать потенциальную энергию вытесненной воды. Пусть ребро куба имеют длину $a$. Тогда высота подъёма центра масс воды в первом случае равна $\frac{a}{3\times\sqrt{2}}$, а во втором - просто $\frac{a}{4}$.
4. Таким образом, получается, что общая энергия в первом случае меньше чем во втором $\Rightarrow$ в первом случае равновесие устойчиво.

Где ошибка в рассуждениях?

[AnatolyBa]

А должна быть ошибка?
Есть какой-нибудь ответ, где сказано, что это не так?

[Monster]

AnatolyBa,
да, есть ответ. Он не такой, как у меня.

[мат-ламер]

Monster в сообщении #1068866 писал(а):

2. Ясно, что потенциальная энергия кубика в обоих состояниях одинакова, так как объём вытесненной воды одинаков и центры кубиков находятся на поверхности воды.

Это действительно всем ясно или всё же лучше посчитать? (Согласен, что ясно. Я просто подумал, читая это, что воду тут тоже надо учитывать. Не дочёл до конца).

-- Вс ноя 01, 2015 13:56:32 --

Monster в сообщении #1068866 писал(а):

Следовательно, нам нужно отслеживать потенциальную энергию вытесненной воды.

Я имел в виду, что не только вода вытесняется, но и некоторые части куба выступают над поверхностью воды на разной высоте. Это тоже надо учитывать. Т.е. надо учитывать центр тяжести системы из кубика плюс воды. Центр тяжести кубика по-любому на одинаковой высоте. А вот центр тяжести воды в первом случае ниже. Следовательно первое положение более устойчиво. Я извиняюсь, а из какой книги задача?

[мат-ламер]

Стоп! Наверное написал ерунду. Был проделан эксперимент. В кастрюлю был опущен плашмя спичечный коробок. Он продолжил плавание плашмя не наклоняясь. Необходимо дальнейшее исследование вопроса.

[AnatolyBa]

Возможно, оба положения неустойчивы, а устойчивым будет такое, когда главная диагональ вертикальна, т.е. кубик плавает углом кверху и вода "пересекает" его по шестиугольнику.
Но если вам такие задачи задают, значит очень сильно вас не любят

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1069142 писал(а):

Стоп! Наверное написал ерунду. Был проделан эксперимент. В кастрюлю был опущен плашмя спичечный коробок. Он продолжил плавание плашмя не наклоняясь. Необходимо дальнейшее исследование вопроса.

Всё зависит от соотношения сторон.

Серьёзно эту задачу рассматривали раньше: «закон Архимеда».

[AnatolyBa]

Впрочем, если не нужно доказывать устойчивость положения с вертикальной главной диагональю, то задача не такая уж и сложная, хотя и неприятная.
Нужно рассмотреть изменения потенциальной энергии при малых отклонениях относительно равновесия. Недостаточно просто вычислить энергию в самих точках равновесия.
Отклонений надо рассмотреть два - соответствующих малым поворотам относительно перпендикулярных осей

[Monster]

Можно ли в принципе решить задачу таким энергетическим методом?
Или всё-таки необходимо "проворачивать" кубик на маленький угол в каждом из случаев и смотреть на силы?

Цитата:

Я извиняюсь, а из какой книги задача?

Я не знаю. Была у меня на курсах. Вроде бы что-то похожее было в задачнике "Квант".

-- 01.11.2015, 17:22 --

AnatolyBa
не заметил ваше сообщение.

Цитата:

Недостаточно просто вычислить энергию в самих точках равновесия.

Почему недостаточно знать полную энергию в точках равновесия?

[Munin]

Monster в сообщении #1069228 писал(а):

Была у меня на курсах.

Для какого курса эти курсы?

[Monster]

Munin
Подготовка к Всероссийской олимпиаде. 11 класс

[AnatolyBa]

Monster в сообщении #1069228 писал(а):

Почему недостаточно знать полную энергию в точках равновесия?

Надо же определить - равновесие устойчивое или нет. Для доказательства устойчивости нужно, чтобы при малых отклонениях потенциальная энергия увеличивалась. Формально говоря нужно взять вторую производную от энергии по параметру отклонения, в вашей задаче это трудно. Но можно посчитать изменение энергии при малом повороте

[Monster]

AnatolyBa
это понятно. Если отвечать на вопрос, какое из двух описанных состояний более устойчивое, то какой будет ответ?
Из моих рассуждений получается, что первое состояние. Однако и в официальном ответе, и из общей интуиции кажется, что это неправда.

[AnatolyBa]

Интуиция у меня здесь не работает совершенно.
Ваше рассуждение мне вначале показалось убедительным, но, как оказалось, оно основано на неявном предположении, что одно состояние должно быть устойчивым а другое нет. Но оказалось это "оптический обман", задача то олимпиадная. Оба состояния неустойчивы.
Но второе состояние неустойчиво относительно поворота вокруг обеих осей. Первое состояние устойчиво относительно поворота вокруг одной оси, но неустойчиво относительно другой.
Т. е. первое состояние "менее неустойчиво", но все-таки неустойчиво.
Это все - если я правильно решил задачу. Гарантии дать не могу.
И не просите меня это все нарисовать. Точно не смогу.

[amon]

AnatolyBa в сообщении #1069281 писал(а):

Оба состояния неустойчивы.

То есть, кубик спокойно плавать не умеет, и если его в воду опустить, то крутится как наскипедаренный?