2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций
Сообщение31.10.2015, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
В ответ припоминаю, что слово "любое" синонимично словам "каждое", "всякое", "произвольно выбранное". :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций
Сообщение31.10.2015, 21:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Brukvalub, а чего ж Вы ожидали. Вы задали откровенно провокационный вопрос. Я не менее адекватно и ответил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций
Сообщение31.10.2015, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва

(Оффтоп)

Я хотел, чтобы Вы добавили в свой комментарий слово "дифференцируемое", без которого Ваш комментарий про линеаризацию произвольного отображения, как Вы любите выражаться, вполне бессмыслен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций
Сообщение31.10.2015, 21:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1068885 писал(а):
без которого Ваш комментарий про линеаризацию произвольного отображения, как Вы любите выражаться, вполне бессмыслен.

А с оным -- был бы абсолютно зануден. Я как-то предпочитаю второму первое.

Всё, отключаюсь. А то щас злобные модеры набегут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций
Сообщение01.11.2015, 10:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Извиняюсь за крамольную мысль. А зачем вообще студентам рассказывать доказательство этой теоремы? Может её давать без доказательства? А затем заинтересованным товарищам в курсе углублённого анализа давать эту теорему со всей строгостью (в нормированных пространствах и с помощью принципа сжимающих отображений)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций
Сообщение01.11.2015, 10:19 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
В принципе можно всё давать без доказательства. Определение, теорема, определение, теорема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций
Сообщение01.11.2015, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
мат-ламер в сообщении #1069043 писал(а):
зачем вообще студентам рассказывать доказательство этой теоремы? Может её давать без доказательства?

Мысль не новая. Часто в курсах мат.анализа для непрофильных факультетов так и делают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций
Сообщение01.11.2015, 11:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
мат-ламер в сообщении #1069043 писал(а):
А зачем вообще студентам рассказывать доказательство этой теоремы?

Затем, что невозможно вообще ничего не доказывать -- это просто не будет восприниматься. Стиль "определение-теорема", в принципе, возможен, если его грамотно выстроить. Только вот воспринимать такой стиль способны лишь люди с уже достаточно высокой математической подготовкой.

Другой вопрос -- что именно доказывать, а что нет. Если в принципе, то ответ прост: нематематикам не следует излагать слишком тяжёлые доказательства. Например, в первом семестре никто не доказывает основную теорему алгебры, только формулируют (и в первую очередь даже не из-за сложности, а из-за того, что любое разумное доказательство не алгебраично). Во втором или третьем -- теорему о существовании и единственности решения задачи Коши: слишком громоздко. А вот теорема об обратной функции и принципиальна, и довольно проста. Принцип же сжимающих отображений ещё принципиальнее и ещё проще. И хоть формально он относится более-менее к функциональному анализу -- так функан потом далеко не у всех будет. А вот вычислительная математика -- практически у всех, и там без этого принципа никак. Так почему бы не дать его заранее в курсе анализа, тем более что там он и дёшев, и к месту?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций
Сообщение01.11.2015, 15:14 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
ewert в сообщении #1068821 писал(а):
Поскольку её идейность заключается ровно в том, что любое отображение в первом приближении линейно. И сжимающие отображения эту идейность подчёркивают, координатная же возня -- запудривает.

Не соглашусь. Доказательство теоремы о неявном отображении методами дифф. исчисления по индукции, если его правильно преподнести, имеет очень наглядный геометрический смысл, и индукция по своей идее очень простая. Геометрический смысл: уравнения, задающие условия связи, задают некоторые поверхности, которые в окрестности рассматриваемой точки представляют собой почти гиперплоскости, значит пересечение эти поверхностей устроено так же, как пересечение гиперплоскостей. Идея индукции: пусть надо систему из $m$ уравнений разрешить относительно переменных $y_1,\ldots, y_m$, выразив их через переменные $x_1,\ldots, x_n$. По теореме о неявной функции можно разрешить одно из уравнений, пусть последнее, $y_m=\psi(x_1,\dots,x_n,y_1,\ldots, y_{m-1})$. Значит, можно ввести новые координаты, $x^\ast_1,\ldots,x^\ast_n,y^\ast_1,\ldots, y^\ast_m$ в которых соответствующая поверхность задаётся уравнением $y^\ast_m=0$. Тогда остается воспользоваться предположением индукции, рассмотрев вместо исходных поверхностей их пересечения с гиперплоскостью $y^\ast_m=0$, т.е. уже $m-1$ поверхности в $n+m-1$-мерном пространстве.

Недостаток: 1) для обоснования всего этого нужна возня с якобианами 2) теорема получается исключительно конечномерной. Достоинство: наглядность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство теоремы о неявной функции методом итераций
Сообщение01.11.2015, 17:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Padawan в сообщении #1069176 писал(а):
, которые в окрестности рассматриваемой точки представляют собой почти гиперплоскости,

Так это ровно и означает примерно линейность, не больше и не меньше. Однако представлять себе плоскость непременно в координатном представлении -- это некоторое извращение. Плоскость -- она и есть плоскость, это некоторая вещь в себе, это нечто описывающееся линейно. А уж как конкретно -- да кому какая разница.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group