Электродинамика

[TripleLucker]

Здравствуйте, застрял в самом конце такой задачи, прошу помочь, пожалуйста: Два проводящих кольца радиусами $r$ и $R$ ($r << R$) лежат в одной плоскости концентрично друг другу. По внутреннему кольцу протекает ток частоты $\omega$. Найти ток во внешнем кольце, если сопротивление единицы длины кольца равно $\rho $.

В общем схема такая : т.к. радиус маленького кольца много меньше большого, то мы рассматриваем его как магнитный диполь; в учебнике выведена формула потока магнитного поля через внешний контур: $\Phi = \frac{{2{\pi ^2}{r^2}{I_r}}}{{cR}}$. Я доверю учебнику, поэтому использую ее. Дальше я преподалагаю, что, например, ток внутреннего кольца выражается следующим образом ${I_r} = I_r^0\cos (\omega t)$. Тогда, используя формулу для ЭДС, получаю следующее: $\varepsilon = - \frac{1}{c}\frac{{d\Phi }}{{dt}} = \frac{{2{\pi ^2}{r^2}I_r^0\omega }}{{{c^2}R}}\cos (\omega t)$. Затем, используя известный всем закон Ома: ${I_R} = \frac{U}{R} = \frac{\varepsilon }{{2\pi R}}$ я должен получить ответ, но в знаменателе появляется лишняя $R$. Подозреваю, что в законе нельзя просто напряжение на ЭДС заменить, поэтому как быть?

[DimaM]

TripleLucker в сообщении #1068891 писал(а):

как быть?

Прежде всего не нужно обозначать буквой $R$ и радиус внешнего кольца, и сопротивление.

[TripleLucker]

DimaM в сообщении #1068892 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1068891 писал(а):

как быть?

Прежде всего не нужно обозначать буквой $R$ и радиус внешнего кольца, и сопротивление.

Это плохо, да, я у себя правильно написал, сюда переписал не то. ${I_R} = \frac{U}{{{R_{ring}}}} = \frac{\varepsilon }{{2\pi \rho R}}$. Проблема все та же.

[DimaM]

TripleLucker в сообщении #1068896 писал(а):

Проблема все та же.

Вроде, все у вас правильно. Я не вижу, чтоб была проблема.

[Ms-dos4]

TripleLucker
Вообще, надо в таких случаях (когда есть различие с ответом в одну величину) на размерности смотреть.

[TripleLucker]

Ms-dos4 в сообщении #1068916 писал(а):

TripleLucker
Вообще, надо в таких случаях (когда есть различие с ответом в одну величину) на размерности смотреть.

Ну вот ответ в задачнике ${I_R} = \frac{{{I_r}\omega \pi {r^2}}}{{\rho R{c^2}}}$. Так как тут один ток выражается через другой, то нужно, чтобы остальная часть выражения (без тока) была безразмерной? $\pi$ убираем. $\[\frac{{(\frac{1}{s})*{m^2}}}{{\frac{{Om}}{m}*m*\frac{{{m^2}}}{{{s^2}}}}} = \frac{s}{{Om}}\]$. Но это в СИ, а у нас СГС, и в ней, как я вычитал в википедии, сопротивление - $\frac{m}{s}$. А скорость света безразмерная величина, и тогда все получается. И, следовательно, моя "лишняя" $R$ мешает :/.

Заметил еще, что там после дифференцирования синус должен быть, но исправлять уже поздно, да и не используется он особо.

UPD:: Сопротивление полное есть $\frac{m}{s}$, но у меня в единицу длины, поэтому надо поделить еще на $m$, и тут моя "лишняя" $R$ как раз и вступает. Я нигде не вру?

[Ms-dos4]

TripleLucker
Так у вас СГС, поэтому сопротивление есть $\[\left[ {\frac{{\rm{c}}}{{{\rm{cm}}}}} \right]\]$. Поэтому в учебнике $\[\frac{{{\rm{[}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{c}}}{\rm{]}} \cdot {{[{\rm{cm]}}}^{\rm{2}}}}}{{[\frac{{\rm{c}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}] \cdot [{\rm{cm]}} \cdot [\frac{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}]}} = {\rm{[cm]}}\]$ - как раз не хватает одной $\[R\]$ в знаменателе. Так что у вас всё верно.
UPD. Да. И никакого синуса. Там же усреднение будет, и вылезет $\[\frac{1}{2}\]$ (которая убивает двойку).

[TripleLucker]

Ms-dos4 в сообщении #1068945 писал(а):

TripleLucker
Так у вас СГС, поэтому сопротивление есть $\[\left[ {\frac{{\rm{c}}}{{{\rm{cm}}}}} \right]\]$. Поэтому в учебнике $\[\frac{{{\rm{[}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{c}}}{\rm{]}} \cdot {{[{\rm{cm]}}}^{\rm{2}}}}}{{[\frac{{\rm{c}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}] \cdot [{\rm{cm]}} \cdot [\frac{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{c}}^{\rm{2}}}}}]}} = {\rm{[cm]}}\]$ - как раз не хватает одной $\[R\]$ в знаменателе. Так что у вас всё верно.
UPD. Да. И никакого синуса. Там же усреднение будет, и вылезет $\[\frac{1}{2}\]$ (которая убивает двойку).

С размерностью понял (на википедии разбивается на две части СГСМ И СГСЭ, поэтому я немного запутался). Но теперь не понял насчет усреднения. В последней формуле, которую я написал в топике, уже убивается двойка. Получается, еще одна двойка выйдет?

[Ms-dos4]

TripleLucker
А, не это я чушь ляпнул про усреднение. Они там просто всё втянули в $\[{I_r}\]$

[TripleLucker]

Ms-dos4 в сообщении #1068950 писал(а):

TripleLucker
А, не это я чушь ляпнул про усреднение. Они там в ответе косинус втянули в $\[{I_r}\]$

Хорошо тогда. Спасибо большое за разъяснение!

[Munin]

TripleLucker в сообщении #1068948 писал(а):

С размерностью понял (на википедии разбивается на две части СГСМ И СГСЭ, поэтому я немного запутался).

Есть три системы единиц СГС: СГСЭ, СГСМ и СГС Гаусса. Первые две остались в прошлом, Гаусса - живёт. Но система Гаусса - это система, которая в части единиц совпадает с СГСЭ, а в другой части единиц - с СГСМ.

[TripleLucker]

Munin в сообщении #1068991 писал(а):

TripleLucker в сообщении #1068948 писал(а):

С размерностью понял (на википедии разбивается на две части СГСМ И СГСЭ, поэтому я немного запутался).

Есть три системы единиц СГС: СГСЭ, СГСМ и СГС Гаусса. Первые две остались в прошлом, Гаусса - живёт. Но система Гаусса - это система, которая в части единиц совпадает с СГСЭ, а в другой части единиц - с СГСМ.

Интересно. Спасибо!