Нетривиальность центра p-группы

[Noct]

Задали "упражнение со звездочкой" доказать что все группы порядка $p^2$ абелевы.
До этого на паре было задание доказать что если фактор группа по центру циклическая то группа абелева, поэтому первая моя мысль была копать в эту сторону.
Дальнейшее решение было в доказательстве того факта что группа порядка $p^2$ имеет нетривиальный центр.
Я доказывал так
Пусть $x \in G , x \neq 1 $, тогда по т. Лагранжа $|\left\langle x \right\rangle| \mid |G| \Rightarrow $
возможны 3 варианта
1. $|\left\langle x \right\rangle| = 1$, тогда $x = 1 $, что противоречит выбору x
2. $|\left\langle x \right\rangle| = p^2$, тогда $|\left\langle x \right\rangle| = G$, а значит G циклична, а значит абелева
3. $|\left\langle x \right\rangle| = p$, тогда $\left\langle x \right\rangle $ - циклическая, а значит и абелева $\Rightarrow \left\langle x \right\rangle \subseteq Z(G)$ и $\Rightarrow |Z(G)| \geqslant p$
Верно ли это доказательство?

[Brukvalub]

Непонятно вот это рассуждение:

Noct в сообщении #1068672 писал(а):

3. $|\left\langle x \right\rangle| = p$, тогда $\left\langle x \right\rangle $ - циклическая, а значит и абелева $\Rightarrow \left\langle x \right\rangle \subseteq Z(G)$ и $\Rightarrow |Z(G)| \geqslant p$

[Noct]

раз $\left\langle x \right\rangle$ имеет простой порядок то она циклическая и абелева
то есть эта подгруппа в $G$ и $\forall x, y \in \left\langle x \right\rangle: x \cdot y=y \cdot x$, а значит $\left\langle x \right\rangle$ лежит в центре.
Ага понял свою ошибку, чтобы элемент принадлежал центру надо чтобы он коммутировал со всеми элементарными группы.

-- 31.10.2015, 18:55 --

А можно как-нибудь показать что $\left\langle x \right\rangle$ будет нормальной подгруппой в $G$

[DiMath]

Noct Вам нужно доказать два утверждения:
1) Фактор неабелевой группы по ее центру не может быть циклической группой.
2) Любая конечная p-группа имеет нетривиальный центр.

С их помощью из Ваших трех вариантов останется только один, про который всё известно.

[AV_77]

Формулу классов используйте.