2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нетривиальность центра p-группы
Сообщение31.10.2015, 15:17 


23/02/15
39
Задали "упражнение со звездочкой" доказать что все группы порядка $p^2$ абелевы.
До этого на паре было задание доказать что если фактор группа по центру циклическая то группа абелева, поэтому первая моя мысль была копать в эту сторону.
Дальнейшее решение было в доказательстве того факта что группа порядка $p^2$ имеет нетривиальный центр.
Я доказывал так
Пусть $x \in G , x \neq 1 $, тогда по т. Лагранжа $|\left\langle x \right\rangle| \mid |G| \Rightarrow $
возможны 3 варианта
1. $|\left\langle x \right\rangle| = 1$, тогда $x = 1 $, что противоречит выбору x
2. $|\left\langle x \right\rangle| = p^2$, тогда $|\left\langle x \right\rangle| = G$, а значит G циклична, а значит абелева
3. $|\left\langle x \right\rangle| = p$, тогда $\left\langle x \right\rangle $ - циклическая, а значит и абелева $\Rightarrow  \left\langle x \right\rangle \subseteq Z(G)$ и $\Rightarrow |Z(G)| \geqslant p$
Верно ли это доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальность центра p-группы
Сообщение31.10.2015, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Непонятно вот это рассуждение:
Noct в сообщении #1068672 писал(а):
3. $|\left\langle x \right\rangle| = p$, тогда $\left\langle x \right\rangle $ - циклическая, а значит и абелева $\Rightarrow  \left\langle x \right\rangle \subseteq Z(G)$ и $\Rightarrow |Z(G)| \geqslant p$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальность центра p-группы
Сообщение31.10.2015, 16:49 


23/02/15
39
раз $\left\langle x \right\rangle$ имеет простой порядок то она циклическая и абелева
то есть эта подгруппа в $G$ и $\forall x, y \in \left\langle x \right\rangle: x \cdot y=y \cdot x$, а значит $\left\langle x \right\rangle$ лежит в центре.
Ага понял свою ошибку, чтобы элемент принадлежал центру надо чтобы он коммутировал со всеми элементарными группы.

-- 31.10.2015, 18:55 --

А можно как-нибудь показать что $\left\langle x \right\rangle$ будет нормальной подгруппой в $G$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальность центра p-группы
Сообщение31.10.2015, 17:30 


13/07/10
106
Noct Вам нужно доказать два утверждения:
1) Фактор неабелевой группы по ее центру не может быть циклической группой.
2) Любая конечная p-группа имеет нетривиальный центр.

С их помощью из Ваших трех вариантов останется только один, про который всё известно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нетривиальность центра p-группы
Сообщение31.10.2015, 18:21 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Формулу классов используйте.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group