странная форма записи дифференциального оператора

[eugrita]

В книге http://stu.scask.ru/book_ptc.php?id=49
я столкнулся со странной записью дифференциального оператора
для динамической системы 2 порядка с нелинейностью
$ \dot {x_1} =x_2 $
$ \dot {x_2} =-x_1-32 x_1^5 $
автор пишет что "оператор системы имеет вид"
$ A=x_2 \cdot \partial/\partial x_1 -(x_1+32 \cdot x_1^5) \cdot \partial/\partial x_2 $
Не понимаю символику, хотя понимаю оператор дифференцирования, символический вид (операционное исчисление)
Почему он состоит из 2 частей соединенных знаком минус а не записан в векторном виде?

[VanD]

Ваша система определяет векторное поле на плоскости $(x_1, x_2)$ в виде $\dot{x}_1 \frac{\partial \ }{\partial x_1} + \dot{x}_2 \frac{\partial \ }{\partial x_2}$

Если рассмотреть конкретную кривую $\gamma (t) = (x_1(t), x_2(t))$, то её вектор скорости в каждой точке будет иметь вид $\dot{x}_1 \frac{\partial \ }{\partial x_1} + \dot{x}_2 \frac{\partial \ }{\partial x_2}$, где $\dot{x}_i$ берутся вдоль $\gamma (t)$.
У Вас фактически записана обратная задача: известно, как выглядит касательное векторное поле в каждой точке, найти кривые, для которых оно является полем скорости.

Или, может быть, Вас смутили обозначения $\frac{\partial \ }{\partial x_i}$ - это можно воспринимать как удобные обозначения для базисных касательных векторов в каждой точке плоскости. То есть, оператор, вызвавший Ваше недоумение, всё-таки записан в векторном виде.

[eugrita]

я бы в своем понимании записал так линеаризованной части $A_0$
$ \dot{x}=B x $
где $B=\qquad \begin{bmatrix} \partial/\partial x_1 & -1 \\ -1 & \partial/\partial x_2 \end{bmatrix} $

а ф-лу в 1 строчке вашего ответа "Ваша система определяет векторное поле на плоскости "
не понимаю хоть убей хотя что такое векторное поле понятно. А формулу читаю как скалярное произведение вектора скорости на вектор из дифференциальных операторов
Вы занимались гидро- или газодинамикой?

[VanD]

eugrita в сообщении #1068363 писал(а):

А формулу читаю как скалярное произведение вектора скорости на вектор из дифференциальных операторов

Неправильно читаете. Чтобы разобраться, уточните, что такое касательное векторное поле. Ещё раз повторю, что $\frac{\partial \ }{\partial x_i}$ в каждой конкретной точке - это обозначение базисного касательного вектора. У вас вектор скорости в каждой точке имеет 2 компоненты $\dot{x}_1$ и $\dot{x}_2$, но компоненты сами по себе ничего не значат до тех пор, пока Вы не укажете, по какому базису они являются коэффициентами разложения касательного вектора в точке.

eugrita в сообщении #1068363 писал(а):

Вы занимались гидро- или газодинамикой?

Пока не понимаю, при чём тут гидро- или газодинамика. Сколько-то в самом деле занимался, но Ваш вопрос касается скорее основ теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

[eugrita]

т е это скорость движения не вдоль фазовой траектории а просто траектории? Здесь фазовая плоскость 4-мерный вектор
$(x_1,x_2, \dot {x_1}, \dot {x_2})$

[Otta]

И еще раз: мгновенная скорость движения точки с координатами $(x_1,x_2)$ в Вашем поле есть $v(x)=(v_1(x),v_2(x))$, где $v_1(x)=x_2, v_2(x)=-x_1-32x^5$. Это и есть векторное поле системы, он же вектор скорости движения точки вдоль фазовой траектории. Альтернативная запись поля $v(x)=(v_1(x),v_2(x))$ - и общепринятая - есть $v(x)=v_1(x)\partial/\partial x_1+v_2(x)\partial/\partial x_2$. Это вектор, по сути. С двумя координатами. Фазовые пространства двумерных автономных систем также имеют размерность 2.

Возьмите уже Арнольда, ОДУ.

[eugrita]

читаю, одев очки ночью и утром