projective general linear group

[Таня Тайс]

По определению $PGL_{n} (K) = GL_{n} (K)/ K^{*}$
Центр всех инвертируемых матриц $ Z(GL_{n}(K)) =K^{*}$
$K^{*}$ здесь это матрицы вида

$$\begin {pmatrix} x & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & x \end {pmatrix}$$

,
т.е. скаляр по диагонали и остальные нули.
Не могу сообразить, можно ли написать$PGL_{n} (K) = GL_{n} (K) - Z(GL_{n}(K))$
или это надо дополнительно доказывать?

Добавлено спустя 33 минуты 26 секунд:

Если исходить из того, что я учила по топологии, то это последнее равенство вообще неверно: Весь центр будет спроецирован в один пункт, т.е. если мы "вычитаем" весь центр, этого пункта будет не хватать...
Пролейте, пожалуйста, свет на ситуацию.

[lofar]

$GL_n(K)/K^*$ --- это факторгруппа, $GL_n(K)-Z(GL_n(K))$ --- это, видимо, разность множеств. Факторгруппа и разность множеств --- разные вещи.

Таня Тайс, простите, складывается впечатление, что Вы читаете довольно сложные специальные книжки, не разобравшись при этом в основах алгебры. Не вполне понимаю какова Ваша цель.

[Brukvalub]

Таня Тайс писал(а):

Не могу сообразить, можно ли написать$PGL_{n} (K) = GL_{n} (K) - Z(GL_{n}(K))$

В каком смысле понимается такая разность? Ведь в левой и правой частях равенства стоят совершенно разные множества, они вовсе не пересекаются!

[Таня Тайс]

lofar писал(а):

не разобравшись при этом в основах алгебры. Не вполне понимаю какова Ваша цель.

Цель -разобраться. А ещё у нас такая форма обучения- мне надо представить доклад по теме из специальной, серьёзной книжки и объяснить всё, что автор "перепрыгнул", посчитав само собой очевидным. Ну и время на подготовку конечно тоже есть. Но не всегда понятно, с чего начинать...
А Ваш ответ экономит моё время.

Brukvalub писал(а):

В каком смысле понимается такая разность?

Я поняла, это бред, дальше в этом направлении думать не буду.
Но считаю, что я знаю, что такое факторгруппа.

Спасибо за ответы.

Добавлено спустя 8 минут 58 секунд:

Re: projective general linear group

Таня Тайс писал(а):

$PGL_{n} (K) = GL_{n} (K) - Z(GL_{n}(K))$

Это равенство мне подсказал "мой сосед по парте". Конечно, бред.
Считаю вопрос решенным.