Работа газа за цикл Карно

[ASCCCIII]

Подскажите, пожалуйста, правильный ли ход решения или нет.

Условие: газ совершает цикл Карно. При изотермическом расширении газа изменение его энтропии $S = 5$ кДЖ/К, а разность температур между нагревателем и холодильником $t = 90$ С. Определить работу $A$, совершаемую газом за один цикл.

Решение:
$A = \frac{m}{M(\varphi - 1)}R(T_1 - T_2)$, где $\varphi$ - адиабата.

Так как $\frac{pV}{T} = \frac{m}{M}R$, то $A = \frac{pV}{T(\varphi - 1)}(T_1 - T_2)$

Так как $\Delta S = \frac{pV}{T}\ln\frac{V_2}{V_1}$, то $A = \frac{\Delta S}{\ln\frac{V_2}{V_1}(\varphi - 1)}(T_1 - T_2)$

Так как $\frac{T_2}{T_1} = (\frac{V_1}{V_2})^(^\varphi ^- ^1^)$, то $\varphi - 1 = \frac{\ln\frac{T_2}{T_1}}{\ln\frac{V_1}{V_2}}$

$A = \frac{\Delta S\ln\frac{V_2}{V_1}}{\ln\frac{V_1}{V_2}\ln\frac{T_2}{T_1}}(T_1 - T_2)$

В решении три проблемы:
1. Согласно формуле $\frac{T_2}{T_1} = (\frac{V_1}{V_2})^(^\varphi ^- ^1^)$ логарифмы в числителе и знаменателе не сократить из обратного положения объемов.
2. Если формула неправильная и их можно сократить, то в знаменателе все-равно остается второй логарифм.
3. Разность температур в цельсиях. Если бы логарифмы сокращались и температуру можно бы было взять в цельсиях, то получился бы правильный ответ $5000 \cdot 90 = 450000$ Дж.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны отдельные обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- напишите не только формулы из решения, но и само решение - с расшифровкой обозначений, пояснением смысла выполняемых действий и т.п.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 26.10.2015, 22:19 --

Стало лучше, хотя и не до конца. Но все-таки проблемы зарыты именно в отсутствии расшифровок действий. Поехали сначала:

ASCCCIII в сообщении #1067202 писал(а):

$A = \frac{m}{M(\varphi - 1)}R(T_1 - T_2)$, где $\varphi$ - адиабата.

Вот конкретно эта формула - какую работу по ней можно вычислить? Вы, судя по последующему, считаете, что это полная работа за цикл. А это не так - это работа, совершенная газом при адиабатическом расширении.

Далее:

ASCCCIII в сообщении #1067202 писал(а):

Так как $\frac{pV}{T} = \frac{m}{M}R$, то $A = \frac{pV}{T(\varphi - 1)}(T_1 - T_2)$

Вот тут Вас совершенно не смущает, что в выражении появились какие-то $p$, $V$ и $T$, которые непонятно к чему относятся? Да, именно такая их комбинация действительно константа, но зачем ее использовать?

ASCCCIII в сообщении #1067202 писал(а):

1. Согласно формуле $\frac{T_2}{T_1} = (\frac{V_1}{V_2})^(^\varphi ^- ^1^)$ логарифмы в числителе и знаменателе не сократить из обратного положения объемов.

$\ln (1/x) = - \ln x$. Ни на какие мысли не наводит?

[DimaM]

Все гораздо, гораздо проще.
Надо вспомнить, что $\Delta Q=T\Delta S$, а дальше сообразить, как соотносятся в цикле Карно $\Delta Q$ нагревателя и холодильника.
Показатель адиабаты, кстати, принято обозначать буквой $\gamma$.

[ASCCCIII]

Pphantom в сообщении #1067234 писал(а):

Вот конкретно эта формула - какую работу по ней можно вычислить? Вы, судя по последующему, считаете, что это полная работа за цикл. А это не так - это работа, совершенная газом при адиабатическом расширении.

Так как не мог найти нормального решения, то получается, что, да, от безысходности принял ее за полную работу. Хотя, конечно, глупо, согласен.
Почитал в итоге Трофимову, а не интернет, и вроде подразобрался.

Pphantom в сообщении #1067234 писал(а):

Вот тут Вас совершенно не смущает, что в выражении появились какие-то , и , которые непонятно к чему относятся? Да, именно такая их комбинация действительно константа, но зачем ее использовать?

Тоже от безысходности начал приравнивать работу при изотермическом процессе с работой при адиабатном процессе. Пытался составить хоть какую-то формулу, где останется одна неизвестная, что тоже глупо.

Pphantom в сообщении #1067234 писал(а):

Ни на какие мысли не наводит?

Спасибо! В итоге в правильном решении это соотношение тоже пригодилось.

DimaM в сообщении #1067327 писал(а):

Надо вспомнить, что , а дальше сообразить, как соотносятся в цикле Карно нагревателя и холодильника.

Спасибо! Теперь получилось решить.

DimaM в сообщении #1067327 писал(а):

Показатель адиабаты, кстати, принято обозначать буквой .

Сейчас сообщение не исправить, но в следующей раз напишу правильно.

[DimaM]

ASCCCIII в сообщении #1067372 писал(а):

Спасибо! Теперь получилось решить.

Сколько получилось в итоге?

[ASCCCIII]

DimaM в сообщении #1067390 писал(а):

Сколько получилось в итоге?

$Q_1 - Q_2 = \frac {m}{M}R\ln \frac{V_2}{V_1}(T1 - T2) = 5 \cdot 10^3 \cdot 90 = 0,45$ мДж

[DimaM]

ASCCCIII в сообщении #1067397 писал(а):

$Q_1 - Q_2 = \frac {m}{M}R\ln \frac{V_2}{V_1}(T_1 - T_2) = 5 \cdot 10^3 \cdot 90 = 0{,}45$ мДж

Число правильное, но ответ должен выражаться через известные величины, а не как у вас.

[ASCCCIII]

DimaM в сообщении #1067651 писал(а):

Число правильное, но ответ должен выражаться через известные величины, а не как у вас.

Понял, при написании задачи учту. Спасибо!