Добрый день.
Ломаю голову над следующей задачей. Есть компактное метрическое
![$(X,\rho)$ $(X,\rho)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/f/adf09ed95fdf84a586213d877892769b82.png)
и Евклидово
![$\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/8/8a86f4a11e2fbfc03de61d587ba826de82.png)
пространства. Допустим у нас есть последовательность неравных точек
![$\{ x_1, ... x_N \}$ $\{ x_1, ... x_N \}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/a/09a6bad0e67071e8d07352717ed8680682.png)
в
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
, все метрики между которыми
![$\rho(x_i,x_j)$ $\rho(x_i,x_j)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/7/ee79b3555bd7dbddcd4e0b8de8a922aa82.png)
известны, и последовательность точек
![$\{ a_1, ... a_N \}$ $\{ a_1, ... a_N \}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/b/0eb6dc6384a463fbcb5947088f995e1882.png)
в
![$\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}^n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/8/8a86f4a11e2fbfc03de61d587ba826de82.png)
так что:
![$$ \forall x_i,x_j \in \{x_1,...x_N\} . ||a_i-a_j|| \leq L \cdot \rho(x_i, x_j), $$ $$ \forall x_i,x_j \in \{x_1,...x_N\} . ||a_i-a_j|| \leq L \cdot \rho(x_i, x_j), $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/7/f9784b6b91e82314532815cf9ab49bb082.png)
где
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
- заданная константа.
Допустим, шары вокруг точек
![$\{ x_1, ... x_N \}$ $\{ x_1, ... x_N \}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/a/09a6bad0e67071e8d07352717ed8680682.png)
образуют конечное покрытие
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
шарами какого-нибудь подходящего радиуса.
Есть ли способ построить функцию
![$f:X \rightarrow \mathbb{R}^n $ $f:X \rightarrow \mathbb{R}^n $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/9/5598d0d5e4dafd4d114fd95a524c58b782.png)
такую, что:
![$$f(x_i)=a_i $$ $$f(x_i)=a_i $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/9/429b5f1f39136d7f8e8db9344d1107d482.png)
![$$\forall x,y \in X . ||f(x)-f(y)|| \leq L \cdot \rho(x, y) $$ $$\forall x,y \in X . ||f(x)-f(y)|| \leq L \cdot \rho(x, y) $$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/3/3231d5f0b0c683b1192219ebeaba68a382.png)
Если бы
![$X$ $X$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/f/cbfb1b2a33b28eab8a3e59464768e81082.png)
само было Евклидовым пространством, можно было бы построить кусочно-линейные функции. Данная задача - своего рода обобщение.
Но возможно ли ешё решить в принципе?