Построение функции на метрическом пространстве

[amarsianin]

Добрый день.

Ломаю голову над следующей задачей. Есть компактное метрическое $(X,\rho)$ и Евклидово $\mathbb{R}^n$ пространства. Допустим у нас есть последовательность неравных точек $\{ x_1, ... x_N \}$ в $X$, все метрики между которыми $\rho(x_i,x_j)$ известны, и последовательность точек $\{ a_1, ... a_N \}$ в $\mathbb{R}^n$ так что:

$$ \forall x_i,x_j \in \{x_1,...x_N\} . ||a_i-a_j|| \leq L \cdot \rho(x_i, x_j), $$

где $L$ - заданная константа.

Допустим, шары вокруг точек $\{ x_1, ... x_N \}$ образуют конечное покрытие $X$ шарами какого-нибудь подходящего радиуса.

Есть ли способ построить функцию $f:X \rightarrow \mathbb{R}^n $ такую, что:

$$f(x_i)=a_i $$

$$\forall x,y \in X . ||f(x)-f(y)|| \leq L \cdot \rho(x, y) $$

Если бы $X$ само было Евклидовым пространством, можно было бы построить кусочно-линейные функции. Данная задача - своего рода обобщение.

Но возможно ли ешё решить в принципе?