Ограничена ли последовательность tg n?

[e271828]

Ограничена ли последовательность $\tg n$?

Для неограниченности необходимо, чтобы натуральные значения попадали в интервал $(\pi/2-\epsilon+\pi k; \pi/2+\epsilon+\pi k)$ для любого $\epsilon>0$. Как это показать или доказать, что это невозможно?

[provincialka]

Это следует из иррациональности числа $\pi$. Например: наилучшие приближения рациональными числами

Но, возможно, можно показать свойства тангенсов и непосредственно...

P.S. Лучше использовать не \epsilon, а \varepsilon, так красивее: $\varepsilon$

[Brukvalub]

Опираясь на принцип Дирихле, нетрудно доказать, что разности $n-k\cdot{\frac{\pi}{2}}$ , n , k \in N всюду плотны на действительной оси, откуда вытекает неограниченность.

[e271828]

Цитата:

Опираясь на принцип Дирихле, нетрудно доказать, что разности $n-k\cdot{\frac{\pi}{2}}$ , n , k \in N всюду плотны на действительной оси, откуда вытекает неограниченность.

Какой именно принцип Дирихле имеется в виду?

[Brukvalub]

e271828 в сообщении #1066592 писал(а):

Какой именно принцип Дирихле имеется в виду?

Про ящики и кроликов.

[e271828]

Цитата:

Про ящики и кроликов.

Не совсем понимаю, как опираясь на него, можно показать, что соответствующие разности плотны на вещественной оси...

[INGELRII]

Любое натуральное число представимо в виде $n = \frac{\pi}{2} + m \pi + \alpha$, где $m$ целое, $| \alpha |<\frac{\pi}{2}$. Из того самого принципа Дирихле и следует, что какое бы маленькое $\delta$ мы ни взяли, обязательно найдется такое $n_{\delta}$, что для него соответствующее $\alpha_{\delta} < \delta$. Откуда уже легко следует неограниченность рассматриваемой последовательности.