2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ограничена ли последовательность tg n?
Сообщение25.10.2015, 14:41 
Ограничена ли последовательность $\tg n$?

Для неограниченности необходимо, чтобы натуральные значения попадали в интервал $(\pi/2-\epsilon+\pi k; \pi/2+\epsilon+\pi k)$ для любого $\epsilon>0$. Как это показать или доказать, что это невозможно?

 
 
 
 Re: Ограничена ли последовательность tg n?
Сообщение25.10.2015, 14:53 
Аватара пользователя
Это следует из иррациональности числа $\pi$. Например: наилучшие приближения рациональными числами

Но, возможно, можно показать свойства тангенсов и непосредственно...

P.S. Лучше использовать не \epsilon, а \varepsilon, так красивее: $\varepsilon$

 
 
 
 Re: Ограничена ли последовательность tg n?
Сообщение25.10.2015, 15:44 
Аватара пользователя
Опираясь на принцип Дирихле, нетрудно доказать, что разности $n-k\cdot{\frac{\pi}{2}}$ , n , k \in N всюду плотны на действительной оси, откуда вытекает неограниченность.

 
 
 
 Re: Ограничена ли последовательность tg n?
Сообщение25.10.2015, 15:58 
Цитата:
Опираясь на принцип Дирихле, нетрудно доказать, что разности $n-k\cdot{\frac{\pi}{2}}$ , n , k \in N всюду плотны на действительной оси, откуда вытекает неограниченность.


Какой именно принцип Дирихле имеется в виду?

 
 
 
 Re: Ограничена ли последовательность tg n?
Сообщение25.10.2015, 16:02 
Аватара пользователя
e271828 в сообщении #1066592 писал(а):
Какой именно принцип Дирихле имеется в виду?

Про ящики и кроликов.

 
 
 
 Re: Ограничена ли последовательность tg n?
Сообщение25.10.2015, 16:05 
Цитата:
Про ящики и кроликов.


Не совсем понимаю, как опираясь на него, можно показать, что соответствующие разности плотны на вещественной оси...

 
 
 
 Re: Ограничена ли последовательность tg n?
Сообщение26.10.2015, 08:49 
Аватара пользователя
Любое натуральное число представимо в виде $n = \frac{\pi}{2} + m \pi + \alpha$, где $m$ целое, $| \alpha |<\frac{\pi}{2}$. Из того самого принципа Дирихле и следует, что какое бы маленькое $\delta$ мы ни взяли, обязательно найдется такое $n_{\delta}$, что для него соответствующее $\alpha_{\delta} < \delta$. Откуда уже легко следует неограниченность рассматриваемой последовательности.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group