Некоторый несколько грешащий эмпиризмом, но, возможно, работающий подход.
(Оффтоп)
Считаем на раз-два
Первый шаг - оценка параметров двух Пуассонов. Для них матожидание и дисперсия равны параметру распределения
, начальные моменты - первый начальный
и есть матожидание, второй начальный
. Для смеси начальные моменты смешиваются с теми же весами, что компоненты смеси. А тут, в силу того, что число переходов из 1 в 2 и обратно равны или отличатся на 1, веса можно принять 0.5. Тогда
и
(здесь
- найденные по выборке значения,
и
параметры законов Пуассона для двух состояний). Здесь можно положить
и
Решаем полученное квадратное уравнение, получаем законы Пуассона.
,
Второй шаг - классификация и оценка частоты переходов.
Задаёмся значением вероятности переключения p и рассчитываем по Байесу вероятности принадлежности каждого наблюдения, начиная со второго, к одному или второму закону (для первого производим расчёт для обоих случаев). Рассчитываем правдоподобие для выбранного значения p и начальной точки. По сетке значений p, или рассматривая, как одномерную оптимизацию, находим самый правдоподобный вариант.
, 
, 
.
на 
или обратно.
) получается, если выборку с моим распределением случайным образом перемешать. И в первую очередь меня интересуют не эти параметры 
, оценка получается достаточно простая, если методом моментов - из среднего и дисперсии выборки.
, больше - к другому состоянию), но поскольку могут быть порождены большие значения для состояния с меньшим параметром 
вариантов даёт ответ, но вычислительно неприемлемо. Какое-то ощущение, что можно использовать динамическое программирование, но неясно как.
экземпляров случайной величины, подчиняющейся этому распределению. Я хочу оценить параметр 
равна
получить имеющуюся у меня выборку 
с заданным параметром ![$$\[p=\prod\limits_{n=1}^{N}{p\left( {{k}_{n}} \right)}=\prod\limits_{n=1}^{N}{\frac{{{\lambda }^{{{k}_{n}}}}{{e}^{-\lambda }}}{{{k}_{n}}!}}=\frac{{{\lambda }^{\sum\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}}}}{{e}^{-N\lambda }}}{\prod\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}!}}\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/d/a9d70227942ae20e3f9aebcd471168d882.png "$$\[p=\prod\limits_{n=1}^{N}{p\left( {{k}_{n}} \right)}=\prod\limits_{n=1}^{N}{\frac{{{\lambda }^{{{k}_{n}}}}{{e}^{-\lambda }}}{{{k}_{n}}!}}=\frac{{{\lambda }^{\sum\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}}}}{{e}^{-N\lambda }}}{\prod\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}!}}\]$$")
![$$\[\ln p=\ln \lambda \sum\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}}-N\lambda -\ln \prod\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}!}\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/c/ffc87325c0a358adaba4066eaed8c2cf82.png "$$\[\ln p=\ln \lambda \sum\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}}-N\lambda -\ln \prod\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}!}\]$$")
![$$\[{{\left. \frac{d}{d\lambda }\ln p \right|}_{\lambda =\widetilde{\lambda }}}=\frac{1}{\widetilde{\lambda }}\sum\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}}-N=0\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/d/f7d0c8b376e25100722a851659f4499282.png "$$\[{{\left. \frac{d}{d\lambda }\ln p \right|}_{\lambda =\widetilde{\lambda }}}=\frac{1}{\widetilde{\lambda }}\sum\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}}-N=0\]$$")
![$$\[\widetilde{\lambda }=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}}\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/7/677d7843fd6f714dd9acb2c30dafb20082.png "$$\[\widetilde{\lambda }=\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}{{{k}_{n}}}\]$$")
![$$\[\ln p=\sum\limits_{n=1}^{N}{\ln \left( \frac{q{{\left( {{\lambda }_{1}} \right)}^{{{k}_{n}}}}{{e}^{-{{\lambda }_{1}}}}}{{{k}_{n}}!}+\frac{\left( 1-q \right){{\left( {{\lambda }_{2}} \right)}^{{{k}_{n}}}}{{e}^{-{{\lambda }_{2}}}}}{{{k}_{n}}!} \right)}\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/0/3e0f790bd70b23ad7a311d118bf076ae82.png "$$\[\ln p=\sum\limits_{n=1}^{N}{\ln \left( \frac{q{{\left( {{\lambda }_{1}} \right)}^{{{k}_{n}}}}{{e}^{-{{\lambda }_{1}}}}}{{{k}_{n}}!}+\frac{\left( 1-q \right){{\left( {{\lambda }_{2}} \right)}^{{{k}_{n}}}}{{e}^{-{{\lambda }_{2}}}}}{{{k}_{n}}!} \right)}\]$$")
(где 
, так как не было корреляции между соседними выборками) теперь ещё так же будет зависеть от того, было ли переключение или нет между каждыми 
парами соседей. Сюда и войдёт вероятность переключения, связанная с искомой мною средней частотой переключений. Что-то меня пугает размер формулы. И есть сомнения в нормировке. Я, вообще, правильно рассуждаю?