Статистическая задача

[B@R5uk]

Помогите, пожалуйста, решить такую задачу.

Имеется некоторое целочисленная случайная величина с некоторым средним. Вообще говоря распределение этой величины не известно, но пусть для начала это будет распределение Пуассона. Среднее этой случайной величины модулируется во времени по следующему случайному закону: это среднее может принимать только два значения и случайным образом переключается из одного в другое и назад, но эти два значения не известны. Переключения происходят независимо друг от друга с некоторой постоянной средней частотой. Фактически эти события так же порождают распределение Пуассона, но его среднее значительно меньше того модулированного среднего первой случайной величины. У меня есть временная выборка первой случайной величины. И мне требуется по этой выборке определить среднюю частоту переключений и те два средних, между которыми происходит случайное переключение.

Моя идея изначально была такая: построить гистограмму выборки меняющейся случайной величины, найти на ней два максимума, если бы хвосты этих двух максимумов не перекрываются, то найти разделяющее значение. Тогда по каждому значению выборки можно будет однозначно сказать, какому среднему из двух эта выборка соответствует. Останется посчитать эти два средних и среднее время между переключениями. Однако это очень простой тривиальный случай. Что делать, если хвосты распределений перекрываются и очень сильно? Я нутром чую, что этот приём с дискриминацией выборки относительно среднего не верен, должен быть какой-то другой способ подсчитать интересующие меня средние. Как вообще подступиться к решению этой задачи в общем случае?

[dsge]

Посмотрите литературу по Markov-switching models. В каждый момент времени ваша величина может быть в любом из 2-х состоянии, используя её значение и формулу Байеса можно оценить условные вероятности нахождения в каждом из состояний и вывести формулу для функции првдоподобия.

[B@R5uk]

Я правильно понимаю, что функция правдоподобия -- это вероятность получить заданное значение случайной величины при заданных параметрах распределения?

[dsge]

Ещё надо их перемножить по всей выборке.

[B@R5uk]

Это если нету корреляции между элементами выборки, я правильно понимаю? А тут как поступать?

[dsge]

Перемножать вероятности можно только для независимых событий (у них корреляция нулевая).

[Евгений Машеров]

Вероятности нахождения в состояниях равны? И равны 0.5? Может, метод моментов попробовать?
Находим начальные эмпирические моменты $M_1$ и $M_2$ и приравниваем $M_1=\frac {\lambda+\mu} 2$ и $M_2=\frac {\lambda+\lambda^2+\mu+\mu^2} 2$, решая квадратное уравнение, получаем параметры обоих законов Пуассона.
Но вот по поводу частоты переключений идей нет. Можно, оценив параметры Пуассона, попытаться расклассифицировать наблюдения,как порождённые первым и вторым состоянием (фактически это будет граничное значение, выше одно состояние, ниже другое), но будет много ложных срабатываний, "дребезга".

[dsge]

Проще выписать функцию правдоподобия, используя формулу полной вероятности для каждого наблюдения.

[Евгений Машеров]

Чего-то мне сдаётся, что получится экспоненциальная сложность.

[dsge]

Получится функция правдоподобия с 3-мя параметрами (2 параметра для каждого Пуассона и 1 для переключения), максимизировать которую не представляет особых трудностей.

[Евгений Машеров]

Хотел бы видеть функцию.

[dsge]

Не хочется нарушать правила раздела "Помогите решить / разобраться" и предоставлять готовое решение для ТС.

[Евгений Машеров]

Меня смущает зависимость от состояния в предыдущий момент.

[dsge]

B@R5uk в сообщении #1065845 писал(а):

Переключения происходят независимо друг от друга с некоторой постоянной средней частотой.

Такой зависимости не должно быть.

[Евгений Машеров]

Это переключение. То есть изменение состояния на отличное от предыдущего. Собственно, это и создаёт у меня затруднения.