Как считать представления групп Ли?

[Munin]

Я довольно долго некритично смотрел на формулы, выписанные в разной литературе для групп

$\mathrm{SU}(2)$:

$n\otimes 2=(n+1)\oplus(n-1)$
$\mathrm{SU}(3)$:

$3\otimes 3=6\oplus\bar{3}$
$3\otimes\bar{3}=8\oplus 1$
$3\otimes 3\otimes 3=10\oplus 8\oplus 8\oplus 1$

(разложение произведения представлений в сумму неприводимых)
а сейчас вдруг заинтересовался вычислением общего случая. Меня, при этом, не привлекает возиться на самом нижнем уровне с матрицами, а простейшие рассуждения по аналогии начинают давать сбой на следующих же ступеньках. Например, я, кажется, получил, что

$3\otimes 3\otimes\bar{3}=15\oplus\bar{6}\oplus 3\oplus 3$

но даже в этом я не уверен. А хотелось бы:
- уметь посчитать для $\mathrm{SU}(3)$ представление $8\otimes 8$;
- цепочку $k\otimes m\ldots\otimes n$ произвольной длины, пусть и рекуррентно;
- овладеть этой техникой для других групп Ли, прежде всего $\mathrm{SU}(n),\mathrm{SO},\mathrm{Sp},$ а там и какими-нибудь некомпактными, да и группой Лоренца...

Я нашёл на эту тему как-то мало информации (если я правильно понимаю, что finite groups - это не то), самое лучшее было в Википедии в
https://en.wikipedia.org/wiki/Clebsch–Gordan_coefficients_for_SU(3)#Clebsch–Gordan_series_from_the_tableaux
и оттуда по ссылке в текстике
Some Notes on Young Tableaux as useful for irreps of su(n)
Но мне кажется, там вообще не рассматривается $\bar{3},$ и кроме того, пока освоить эту технику не удалось.

[lek]

Munin в сообщении #1065536 писал(а):

Например, я, кажется, получил, что
$3\otimes 3\otimes\bar{3}=15\oplus\bar{6}\oplus 3\oplus 3$ но даже в этом я не уверен. А хотелось бы:
- уметь посчитать для $\mathrm{SU}(3)$ представление $8\otimes 8$;
- цепочку $k\otimes m\ldots\otimes n$ произвольной длины, пусть и рекуррентно;
- овладеть этой техникой для других групп Ли, прежде всего $\mathrm{SU}(n),\mathrm{SO},\mathrm{Sp},$ а там и какими-нибудь некомпактными, да и группой Лоренца...

$$\begin{align} 3\times(3\times3^*)&=3\times(8+1)=3\times8+3\times1=(3+6^*+15)+3\\ (3\times3)\times3^*&=(6+3)\times3^*=6\times3^*+3^*\times3^*=(3+15)+(3+6^*) \end{align} $$

Остальное есть у Ченг-Ли (гл. 4, унитарные группы) и у Барута-Рончка (гл. 10, произвольные группы Ли).

[Munin]

Спасибо, попробую посмотреть!

-- 23.10.2015 15:16:35 --

lek в сообщении #1065690 писал(а):

$$\begin{align} 3\times(3\times3^*)&=3\times(8+1)=3\times8+3\times1=(3+6^*+15)+3\\ (3\times3)\times3^*&=(6+3)\times3^*=6\times3^*+3^*\times3^*=(3+15)+(3+6^*) \end{align} $$

Вот здесь я не знаю, как вычислять $6\times\bar{3}$ и $3\times 8.$ А из-за этого всё стопорится: перекрёстно ответ не проверишь.

Но спасибо, что подтвердили мой ответ! :-)

[lek]

См. Ченг-Ли, все прозрачно.

[Munin]

Добрался, наконец. Да, это оно. Для группы $\mathrm{SU}(3)$ всё прозрачно, для $\mathrm{SU}(n)$ надо ещё поботать.

-- 26.10.2015 00:11:53 --

Ключевой для меня абзац:

Цитата:

Каждое неприводимое представление группы $SU(3)$ характеризуется парой целых чисел $(p,q).$ Оно изображается графически на плоскости $t_3,у$ в виде фигуры, ограниченной шестиугольником: три стороны имеют длину $p$ единиц, а другие три — длину $q$ единиц (рис. 4.4, а). Шестиугольник вырождается в равносторонний треугольник, если $p$ или $q$ равно нулю (рис. 4.4, б, в). Граница фигуры симметрична относительно отражения в оси $у.$ Напомним, что неприводимое представление группы $SU(2)$ характеризуется одним целым числом $j$; графически оно изображается прямым отрезком длиной $2j$ единиц. На нем расположено $2j+1$ точек, каждая из которых соответствует одному состоянию. Для представления $(p,q)$ группы $SU(3)$ кратность состояния, отвечающего точке на плоскости $t_3,y,$ определяется следующим правилом: точке, лежащей на границе, соответствует одно состояние; точке, принадлежащей второму (если считать от границы внутрь) слою, — два состояния; третьему слою, — три и т. д. до тех пор, пока не будет достигнут треугольник. После этого кратность перестает увеличиваться и остается равной $q+1$ при $p>q$ (или $p+1$ при $q>p$).

[Munin]

Долго пытался вычислить, как будет "у Барута-Рончка" в именительном падеже :-) Результат меня удивил.

(Update: Барут, Рончка. Теория представлений групп и ее приложения. В 2 томах.)

[lek]

К сожалению, для унитарных групп ранга $(n-1)>2$ наглядность пропадает.

[s.n.s.]

Munin в сообщении #1066925 писал(а):

Для группы $\mathrm{SU}(3)$ всё прозрачно, для $\mathrm{SU}(n)$ надо ещё поботать.

Онлайн-калькулятор тензорных произведений представлений SU(N):

http://homepages.physik.uni-muenchen.de ... schGordan/

[amon]

Это написано у Болохова, Ляховского "Группы симметрии и элементарные частицы" на странице 209 и далее, но, боюсь, понять что там написано довольно сложно из-за специфического стиля изложения авторов.

(Оффтоп)

Я Ляховскому зачет по этой науке до сих пор не сдал. Он его в зачетке поставил, но сказал, что надо по-настоящему сдать. С тех пор совесть мучает.

[lek]

amon в сообщении #1067080 писал(а):

Это написано у Болохова, Ляховского "Группы симметрии и элементарные частицы" на странице 209 и далее...

Хорошее изложение с кучей примеров. По сложности находится между книгами Ченга-Ли и Барута-Рончка.

(Оффтоп)

Ляховский писал мне отзыв на автореферат, отличный мужик физик.

[Munin]

lek в сообщении #1067037 писал(а):

К сожалению, для унитарных групп ранга $(n-1)>2$ наглядность пропадает.

Ничего, я там начал читать про перестановки тензорных индексов, для меня это пока ещё достаточно наглядно :-)

За Барута-Рончку отдельное спасибо, это будет спасательным кругом на крайний случай (там кроме тензорного, описаны ещё полдесятка разных методов).

s.n.s.
Спасибо большое! Я нагуглил, увы, только другой калькулятор, и так и не понял, как им пользоваться :oops:

amon в сообщении #1067080 писал(а):

Это написано у Болохова, Ляховского "Группы симметрии и элементарные частицы" на странице 209 и далее, но, боюсь, понять что там написано довольно сложно из-за специфического стиля изложения авторов.

Пугающая рецензия :-) Буду, пожалуй, пока пытаться двигаться по Ченгу-Ли и Баруту-Рончке, если так.
А вы сами эти книги читали? Как в сравнении?

-- 26.10.2015 18:31:18 --

lek в сообщении #1067138 писал(а):

Хорошее изложение с кучей примеров.

Куча примеров - это хорошо...

-- 26.10.2015 18:34:59 --

Меня вот ещё "метод операторов рождения и уничтожения" заинтересовал по названию...

[amon]

Munin в сообщении #1067147 писал(а):

Пугающая рецензия

Не пугайтесь. Судя по тому, что некоторые мои объяснения с зубцами и шариками Вам не нравятся, у нас с Вами разный способ думать. Поэтому, скорее всего, Владимир Дмитриевич Вам понравится. Он проходил стажировку во Франции, где подцепил кое-что от стиля Бурбаков. Книжка эта содержит, имхо, все что надо знать теоретику про теорию групп Ли и еще кое-что лишнее, и кроме нее я по этой теме всерьез ничего не читал, но ее осиливал с огромным трудом, что можно списать на мою тупость к высокой математике. В общем, рекомендую.

[Munin]

amon в сообщении #1067164 писал(а):

Судя по тому, что некоторые мои объяснения с зубцами и шариками Вам не нравятся

Ой, а это вы о чём? :-)

В любом случае, спасибо за рекомендацию!

[Munin]

Ченга-Ли прочитал, всё вроде понятно. Мне не хватало сообразить, что матрица Леви-Чивиты позволяет обойтись одной таблицей Юнга для всех верхних и нижних индексов.

[Metford]

Небольшое дополнение в тему, навеянное недавним вопросом.

Есть пара статей из УФН, в которых описана с работа с $SU(3)$-представлениями:
де Сварт Дж "Октетная модель элементарных частиц" УФН 84 651–692 (1964)
Смородинский Я.А. "Унитарная симметрия элементарных частиц" УФН 84 3–36 (1964)

Плюс отмечу ещё довольно старую, но хорошую книгу С. Газиоровича "Физика элементарных частиц", в которой много внимания уделено этим вопросам.